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Wolfram 语言与系统参考资料中心

CharacteristicPolynomial

CharacteristicPolynomial

CharacteristicPolynomial[m,x]

给出矩阵 m 的特征多项式.

CharacteristicPolynomial[{m,a},x]

给出关于 a 的广义特征多项式.

更多信息

m 必须是一个方阵.
它可以包含数值或符号项.
CharacteristicPolynomial[m,x] 实际上等价于 Det[m-id x]，其中 id 是适当尺寸的单位矩阵. »
CharacteristicPolynomial[{m,a},x] 实际上是 Det[m-a x]. »

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

求其中的项为整数的矩阵的特征多项式：

可视化多项式：

求符号矩阵的特征多项式，以表示：

与直接计算的结果相比较：

计算单位矩阵和零矩阵的特征多项式：

范围 (17)

基本用法 (7)

求及其精度矩阵的特征多项式：

任意精度的矩阵：

一个复矩阵的特征多项式：

精确矩阵的特征多项式：

可视化结果：

高效计算大型数值矩阵的特征多项式：

具有有限场元素的矩阵的特征多项式：

含有 CenteredInterval 对象的矩阵的特征多项式：

找出 m 的随机表示 mrep：

验证 p 的系数包含 mrep 的特征多项式的系数：

广义特征值 (4)

兩个矩阵的广义特征多项式：

这相当于：

广义的机器精度的特征多项式：

求广义的精确的特征多项式：

项的缺失表示无限大的广义特征值：

与有限精度的结果相比较：

求符号矩阵的广义特征多项式：

特殊矩阵 (6)

系数矩阵的特征多项式：

结构化矩阵的特征多项式：

单位矩阵的特征多项式是二项展开式：

HilbertMatrix[n] 的特征多项式：

JordanMatrix[λ,n] 的特征多项式为：

CompanionMatrix[{c₀,c₁,…,c_n}}] 的最小多项式：

应用 (6)

求矩阵的特征多项式，并比较、和时的行为：

查看根，在处有一个与无关的根：

对于，处的根重复出现：

对于，有三个不同的实根：

对于，是唯一的实根，另外两个根是复共轭对：

可视化三个多项式，放大在双根处的“反弹”：

计算矩阵的行列式，以作为其特征多项式中的常数项：

将代入：

这个结果也是特征多项式的根的乘积：

与用 Det 直接计算的结果相比较：

计算矩阵的迹，以作为特征多项式中幂次次高的项的系数：

提取的系数，其中是矩阵的高度或宽度：

这个结果也是特征多项式的根之和：

与用 Tr 直接计算的结果相比较：

求矩阵的特征值，以作为特征多项式的根：

与用 Eigenvalues 直接计算的结果相比较：

用特征多项式求矩阵和的特征值和特征向量：

这两个矩阵具有相同的特征多项式：

因此，它们都将具有相同的特征值，即多项式的根：

特征向量由的零空间给出：

Eigensystem 给出相同的结果，尽管它按绝对值对特征值进行排序：

尽管与的特征值相同，但特征向量不同：

可视化两组特征向量：

求相对于的广义特征系统，以作为特征多项式的根：

广义特征多项式的根是广义特征值：

广义特征向量由的零空间给出：

与用 Eigensystem 直接计算的结果相比较：

属性和关系 (10)

特征多项式等价于 Det[m - id x]：

广义的特征多项式等价于 Det[m-a x]:

矩阵是其特征多项式的一个根 (Cayley–Hamilton 定理 [更多信息...]):

，等价于特征多项式，其中是特征值：

特征多项式的根的和是矩阵的迹 (Tr):

同样，根的积是行列式 (Det)：

矩阵及其转置具有相同的特征多项式：

所有对角线元素相同的三角矩阵的特征多项式都一样：

如果是一个首一多项式，则其伴随矩阵的特征多项式是：

MatrixMinimalPolynomial[m,λ] 整除 CharacteristicPolynomial[m,λ]，其商为一个（可能为常数的）多项式：

最小多项式与特征多项式有一样的相异根：

具体而言，这意味着整除的次方：

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