直角坐标中的向量场的旋度：

圆柱坐标中的向量场的旋度：

在两个维度上可旋转：

使用 del 输入 ∇，用 输入带有下标的变量列表，用 cross 输入 ：

使用 delx 输入模板 ∇_，填入变量，按 键，填入函数：

在极坐标中可旋转：

在曲线坐标系中，甚至具有常量分量的向量可能具有非零旋度：

阶数为 2 的张量的旋度：

指定特性、坐标系统和参数的旋度：

Curl 可产生高阶数组：

这是一个阶数为 4 的数组：

Curl 适用于曲面空间：

如果向量场的旋度为零，则称其为无旋场或保守场：

这意味着向量场的流线不会形成小的闭合环路：

解析意义上讲，它意味着向量场可以被表示为一个标量函数的梯度. 为了找到这个函数，把一条从原点到任意点 {x,y} 的曲线参数化：

可以用 v 沿曲线的线积分来找到该函数：

验证结果：

如果向量场是球形对称的且只有一个径向分量，称该向量场为中心场：

所有中心向量场都是保守场或无旋场：

这表明 v 是一个梯度场. 因为 v 只依赖于径向分量，电势 u 的线积分简化为一个简单的一维积分：

验证结果：

一个不发散的向量场可以表示为向量势函数的旋度：

若要查找向量势函数，必须求解不定系统：

如果 和 是常量，则前两个方程成立. 第三个方程具有明显的解 ：

Curl 产生完全反对称的数组：

梯度的旋度是零：

即使对于非标量输入，结果也是零：

此标识被 Grad 的 Inactive 形式认可：

维情况下，Curl 只对阶数少于 的张量有定义：

Curl 与反对称 Grad 成比例，随后是一个对 HodgeDual 的调用：

成比例常数是 ，其中 r 是 f 的秩：

通过转换为直角坐标然后再转换回来，计算欧几里得坐标系 c 中的 Curl：

结果与直接计算 Curl[f,{x₁,…,x_n},c] 相同：

维度为 时，标量的旋度是秩为 的张量. 因此，对于 ，结果是一个秩为 2 的张量：

秩为 的张量的旋度是一个标量：

标量场的双旋度是该标量的拉普拉斯变换. 在二维空间中：

同样的结果对于三维空间也成立：

查看向量函数的旋度在不同坐标系中的表达式：