Factorial2 
Factorial2
n!!
n の二重階乗を求める．
詳細
- 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
-
- n!!は，偶数 n に対し偶数の積を，または，奇数 n に対し奇数の積を与える．
- Factorial2は任意の数値精度で評価できる．
- Factorial2は自動的にリストに縫い込まれる．
- Factorial2はIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »
例題
すべて開く すべて閉じる例 (6)
Table[n!!, {n, 10}]50!!(1.5)!!Plot[Factorial2[x], {x, -5, 5}]ComplexPlot3D[Factorial2[z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, PlotLegends -> Automatic]Series[Factorial2[x], {x, 0, 2}]//FullSimplifyInfinityにおける級数展開：
Series[Factorial2[x], {x, ∞, 2}]//FullSimplify//Normalスコープ (31)
数値評価 (6)
Factorial2[4]Factorial2[27]N[Factorial2[3 / 13], 10]Factorial2[5.211111111111111111]Factorial2[2. + I]Factorial2[13`100]//TimingFactorial2[45`1000];//TimingIntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：
Factorial2[Interval[{2.1, 2.2}]]Factorial2[CenteredInterval[3, 1 / 100]]Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：
Factorial2[Around[2, 0.01]]Factorial2[{{1, 2}, {3, 4}}]MatrixFunctionを使って行列のFactorial2関数を計算することもできる：
MatrixFunction[Factorial2, {{1, 2}, {3, 4}}]//FullSimplify特定の値 (3)
固定点におけるFactorial2の値：
Table[Factorial2[x ], {x, 1, 4}]Factorial2[0]Factorial2[x]の最初の正の最大値を求める：
xmax = x /. FindRoot[D[Factorial2[x ], x] == 0, {x, 0.2}]Plot[Factorial2[x], {x, 0, 1}, Epilog -> Style[Point[{xmax, Factorial2[xmax]}], PointSize[Large], Red]]可視化 (2)
Factorial2関数をプロットする：
Plot[Factorial2[x], {x, -5, 5}]
ComplexContourPlot[Re[Factorial2[z]], {z, -1 - I, 1 + I}, Contours -> 20]
ComplexContourPlot[Im[Factorial2[z]], {z, -1 - I, 1 + I}, Contours -> 20]関数の特性 (10)
FunctionDomain[Factorial2[x], x]FunctionDomain[Factorial2[z], z, Complexes]
FullSimplify[Factorial2[Conjugate[z]] == Conjugate[Factorial2[z]]]Factorial2は要素単位でリストに縫い込まれる：
{1, 3, 5, 7, 9}!!Factorial2は解析関数ではない：
FunctionAnalytic[Factorial2[z], z]FunctionMeromorphic[Factorial2[z], z]Factorial2は非減少でも非増加でもない：
FunctionMonotonicity[Factorial2[z], z]Factorial2は単射ではない：
FunctionInjective[Factorial2[z], z]Plot[{Factorial2[z], 1.2}, {z, -5, 5}]Factorial2は全射ではない：
FunctionSurjective[Factorial2[z], z]Plot[{Factorial2[z], 0}, {z, -5, 5}]Factorial2は非負でも非正でもない：
FunctionSign[Factorial2[z], z]Factorial2は z≤-2のとき特異点と不連続点の両方を持つ：
FunctionSingularities[Factorial2[z], z]FunctionDiscontinuities[Factorial2[z], z]Factorial2は凸でも凹でもない：
FunctionConvexity[Factorial2[z], z]微分 (2)
級数展開 (5)
Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：
Series[Factorial2[x], {x, 0, 3}]// Normal// FullSimplify
terms = Normal@Table[Series[Factorial2[x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}];
Plot[{Factorial2[x], terms}, {x, -5, 5}]Infinityにおける級数展開を求める：
Series[Factorial2[x], {x, Infinity, 1}]Series[Factorial2[x], {x, -1, 2}, Assumptions -> x > 1]//FullSimplify
Series[Factorial2[x], {x, DirectedInfinity[z], 1}, Assumptions -> x > 0]// FullSimplifySeries[Factorial2[x], {x, x0, 2}]// FullSimplify関数の恒等式と簡約 (3)
Factorial2[n] == n Factorial2[n - 2]//FullSimplify(n - 2)!! == 2^(1/4) (-3 + 2 n - Cos[n π]) π^(1/4) (-1 + Cos[n π]) Gamma[(n/2)]//FullSimplifyn!! == ((n + 2)!!/n + 2)//FullSimplify整数上のFactorialとFactorial2の関係：
FullSimplify[n! == n!!(n - 1)!!, n∈ℤ]一般化と拡張 (3)
アプリケーション (5)
Plot3D[Abs[Factorial2[x + I y]], {x, -5, 2}, {y, -1, 1}]
Underoverscript[∑, n = 0, ∞](2n!/(2n + 1)!!)
N[Sum[2 n! / (2 n + 1)!!, {n, 0, 100}], 30]Piを数値評価したものと比較する：
N[π, 30]Assuming[n∈Integers && n >= 0, FullSimplify[CatalanNumber[n] == (2^2n + 1(2n - 1)!!/(2n + 2)!!)]]
が奇数の素数のとき，ウィルソン(Wilson)の定理の一般化では![TemplateBox[{{{{(, {p, -, 1}, )}, !!}, =, {G, (, {p, +, 1}, )}}, p}, Mod]](Files/Factorial2.ja/1.png "TemplateBox[{{{{(, {p, -, 1}, )}, !!}, =, {G, (, {p, +, 1}, )}}, p}, Mod]"){kind=small}
となる．最初のいくつかの奇数の素数を確認する：
Table[Mod[(p - 1)!!, p] == Mod[BarnesG[p + 1], p], {p, Prime[Range[2, 11]]}]Table[Det[Array[Min, {n, n}] ^ 2], {n, 9}]Table[(2n - 1)!!, {n, 9}]特性と関係 (8)
FunctionExpandを使って二重階乗をGamma関数で表す：
FunctionExpand[(1 / 2)!!]FunctionExpand[(2n)!!]Refine[%, n∈Integers]FullSimplifyを使って二重階乗を含む式を簡約する：
FullSimplify[n!!(n + 1)!! - n n!]Factorial2を含む総和：
Sum[k!!, {k, 0, n, 2}]Sum[k!!, {k, 1, n, 2}]Sum[1 / k!!, {k, 0, Infinity, 2}]Sum[1 / k!!, {k, 1, Infinity, 2}]Sum[k!! x ^ k, {k, 1, Infinity, 2}, Regularization -> "Borel"]Sum[k!! x ^ k, {k, 0, Infinity, 2}, Regularization -> "Borel"]Series[%, {x, 0, 12}]Product[(2n - 1)!!, {n, m}]Product[(2n)!!, {n, m}]Factorial2はDifferenceRootとして表すことができる：
DifferenceRootReduce[Factorial2[k], k]FindSequenceFunctionはFactorial2数列を認識する：
Table[Factorial2[n], {n, 10}]FindSequenceFunction[%, n]Factorial2の指数母関数：
ExponentialGeneratingFunction[Factorial2[n], n, x]考えられる問題 (3)
おもしろい例題 (3)
Factorial2を無限大でプロットする：
DensityPlot[Arg[Factorial2[1 / (x + I y)]], {x, -1 / 2, 1 / 2}, {y, -1 / 2, 1 / 2}, Exclusions -> {}]//QuietDigitCount[10000!!]Plot[(n!)! / n!!, {n, -1 / 2, 2}]
MathWorld
The Wolfram Functions Site
NKS|Online
Wolfram Research (1988), Factorial2, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html （2022年に更新）.
テキスト
Wolfram Research (1988), Factorial2, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html （2022年に更新）.
CMS
Wolfram Language. 1988. "Factorial2." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html.
APA
Wolfram Language. (1988). Factorial2. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html