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GoodmanKruskalGamma[v1,v2]

ベクトル v1とベクトル v2のGoodman–Kruskal 係数を与える．

GoodmanKruskalGamma[m]

行列 m のGoodman–Kruskal 係数を与える．

GoodmanKruskalGamma[m1,m2]

行列 m1と m2のGoodman–Kruskal 係数を与える．

GoodmanKruskalGamma[dist]

多変量記号分布 dist の 係数行列を与える．

GoodmanKruskalGamma[dist,i,j]

多変量記号分布 dist の第 係数を与える．

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GoodmanKruskalGamma

GoodmanKruskalGamma[v1,v2]

ベクトル v1とベクトル v2のGoodman–Kruskal 係数を与える．

GoodmanKruskalGamma[m]

行列 m のGoodman–Kruskal 係数を与える．

GoodmanKruskalGamma[m1,m2]

行列 m1と m2のGoodman–Kruskal 係数を与える．

GoodmanKruskalGamma[dist]

多変量記号分布 dist の 係数行列を与える．

GoodmanKruskalGamma[dist,i,j]

多変量記号分布 dist の第 係数を与える．

詳細

  • GoodmanKruskalGamma[v1,v2]は v1 v2間のGoodman–Kruskal係数 を与える．
  • Goodman–Kruskal は2つのリストの連続要素の相対順序に基づく単調関係の尺度である．
  • と の間のGoodman–Kruskal はで与えられる．ただし， は観測中の一致したペアの数， は一致しないペアの数である．
  • 観測 との一致するペアは と の両方，または と の両方であるものである．観測の一致しないペアは かつ または かつ であるものである．
  • タイがない場合は はKendallTauに等しい．
  • 引数 v1と v2は長さが等しい任意の実ベクトルである．
  • 列数が の行列 m については，GoodmanKruskalGamma[m]は m の列間の 係数の × 行列である．
  • × 行列 m1 と × 行列 m2について，GoodmanKruskalGamma[m1,m2]は m1の列と m2の列の間の 係数の × 行列である．
  • GoodmanKruskalGamma[dist,i,j]はを与える．ただし，はProbability[(x1-x2)(y1-y2)>0,{{x1,y1}disti,j,{x2,y2}disti,j}]に等しく はProbability[(x1-x2)(y1-y2)<0,{{x1,y1}disti,j,{x2,y2}disti,j}]に等しい．この場合，disti,jは dist の第周辺分布である．
  • GoodmanKruskalGamma[dist]は第項がGoodmanKruskalGamma[dist,i,j]で与えられる行列 を与える．

例題

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例  (4)

2つのベクトルのGoodman–Kruskal ：

Wolfram Language code: v1 = {3, -4, 1, 4, 22, 17, -2, 2, 13, -11}; v2 = {-20, -24, 0, 4, 24, 36, -12, -12, 56, -14};
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[v1, v2]

行列のGoodman–Kruskal ：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[BinormalDistribution[.6], 10^3];
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[m]//MatrixForm

2つの行列のGoodman–Kruskal ：

Wolfram Language code: m1 = RandomReal[1, {10^3, 4}];
Wolfram Language code: m2 = RandomReal[1, {10^3, 3}];
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[m1, m2]//MatrixForm

二変量分布についてGoodman–Kruskal を計算する：

Wolfram Language code: 𝒟 = BinormalDistribution[.5];
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[𝒟]//MatrixForm

シミュレーションによる値と比較する：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[RandomVariate[𝒟, 10^4]]//MatrixForm

スコープ  (7)

データ  (4)

厳密な入力は厳密な出力を与える：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[{1, 2, 3, 1, 4, 6}, {2, 1, 8, 7, 2, 1}]

近似入力は近似出力を与える：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[{1.1, 2, 3, 1, 4, 6}, {2, 1, 8, 7, 2, 1}]
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[N[{1, 3, 5, 6, 6}, 30], N[{2, -1, 6, 8, 9}, 30]]

大規模配列に使うことができる：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[RandomReal[1, 10 ^ 4], RandomReal[1, 10 ^ 4]]

SparseArrayデータを使うことができる：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[SparseArray[{{2, 2} -> 1, {5, 3} -> 2, {10, 1} -> 3}]]//MatrixForm

分布と過程  (3)

多変量連続分布についてのGoodman–Kruskal 行列：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[BinormalDistribution[.3]]//MatrixForm
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[BinormalDistribution[0.3], 2, 1]

派生分布についてのGoodman–Kruskal 行列：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[ProductDistribution[ExponentialDistribution[1], ExponentialDistribution[2]]]//MatrixForm
Wolfram Language code: 𝒟 = CopulaDistribution[{"FGM", 2 / 3}, {UniformDistribution[{0, 1}], UniformDistribution[{0, 1}]}];
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[𝒟]//MatrixForm

データ分布について：

Wolfram Language code: 𝒟 = HistogramDistribution[RandomVariate[BinormalDistribution[.75], 10 ^ 2]];
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[𝒟]//MatrixForm
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[BinormalDistribution[.75]]//MatrixForm

時間およびにおける，ランダム過程についてのGoodman–Kruskal 行列：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[WienerProcess[][{0.2, 0.3}]]//MatrixForm

アプリケーション  (3)

Goodman–Kruskal は，一般に，2つのベクトル間の線形従属性を検出する：

Wolfram Language code: {v11, v21} = Transpose[RandomVariate[BinormalDistribution[.99], 1000]]; {v12, v22} = Transpose[RandomVariate[BinormalDistribution[0], 1000]];

の絶対的な大きさは，強い線形従属性がある場合は1に近くなる：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[v11, v21]

この値は，線形独立ベクトルについては0に近くなる：

Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[v12, v22]

Goodman–Kruskal は線形関連の尺度となる：

Wolfram Language code: data = BlockRandom[SeedRandom[1];Table[RandomVariate[BinormalDistribution[i], 1000], {i, {-.99, -.75, -.25, -.5, 0., .25, .5, .75, .99}}]];
Wolfram Language code: Grid[Partition[Table[ListPlot[i, PlotStyle -> Directive[PointSize[Tiny]], FrameTicks -> None, Frame -> True, Axes -> None, PlotLabel -> Row[{"ρ : ", GoodmanKruskalGamma[i][[1, 2]]}]], {i, data}], 3]]

Goodman–Kruskal は単調依存しか検出しない：

Wolfram Language code: uni = RandomReal[{-3, 3}, 1000];
Wolfram Language code: f[x_] := {{x, -Sqrt[Abs[x]] + RandomReal[.5]}, {x, .25x^2 + RandomReal[.5]}, {x, -Sinc[x] + RandomReal[.5]}, {Cos[x], Sin[x] + RandomReal[.5]}}
Wolfram Language code: data = f /@ uni;
Wolfram Language code: Table[ListPlot[data[[All, i]], Frame -> True, Axes -> None, PlotLabel -> Row[{"ρ : ", GoodmanKruskalGamma[data[[All, i]]][[1, 2]]}], PlotStyle -> Directive[PointSize[Tiny]], FrameTicks -> None], {i, 4}]

HoeffdingDを使って他の依存構造を検出することができる：

Wolfram Language code: Table[HoeffdingD[data[[All, i]]][[1, 2]], {i, 4}]

特性と関係  (5)

Goodman–Kruskal は，負の関係と正の関係でそれぞれ-1から1までである：

Wolfram Language code: d = RandomReal[1, 100];
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[d, d]
Wolfram Language code: GoodmanKruskalGamma[d, -d]

Goodman-Kruskal 行列は対称行列である：

Wolfram Language code: gkg = GoodmanKruskalGamma[RandomVariate[BinormalDistribution[1 / 3], 10 ^ 3]];
Wolfram Language code: SymmetricMatrixQ[gkg]

Goodman–Kruskal 行列の対角要素は1である：

Wolfram Language code: data = RandomInteger[{-3, 3}, {100, 15}];
Wolfram Language code: Diagonal[GoodmanKruskalGamma[data]]

タイがない場合，Goodman–Kruskal はKendallTauに等しい：

Wolfram Language code: data = BlockRandom[SeedRandom[1];Table[RandomVariate[BinormalDistribution[i], 2000], {i, {-.99, -.75, -.25, -.5, 0., .25, .5, .75, .99}}]];
Wolfram Language code: Table[ KendallTau[i][[1, 2]] == GoodmanKruskalGamma[i][[1, 2]], {i, data}]

Goodman–Kruskal はタイを別に扱う：

Wolfram Language code: data2 = Round[BlockRandom[SeedRandom[1];Table[RandomVariate[BinormalDistribution[i], 2000], {i, {-.99, -.75, -.25, -.5, 0., .25, .5, .75, .99}}]], 1];
Wolfram Language code: N[Table[(KendallTau[i][[1, 2]]/GoodmanKruskalGamma[i][[1, 2]]), {i, data2}]]

二変量分布のGoodman–Kruskal ：

Wolfram Language code: 𝒟 = CopulaDistribution[{"AMH", 2 / 3}, {UniformDistribution[{0, 1}], UniformDistribution[{0, 1}]}];
Wolfram Language code: gkg = GoodmanKruskalGamma[𝒟, 1, 2]
Wolfram Language code: pc = Probability[(Subscript[x, 1] - Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1] - Subscript[y, 2]) > 0, {{Subscript[x, 1], Subscript[y, 1]}𝒟, {Subscript[x, 2], Subscript[y, 2]}𝒟}]; pd = Probability[(Subscript[x, 1] - Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1] - Subscript[y, 2]) < 0, {{Subscript[x, 1], Subscript[y, 1]}𝒟, {Subscript[x, 2], Subscript[y, 2]}𝒟}];
Wolfram Language code: (pc - pd/pc + pd)
Wolfram Language code: gkg - %//FullSimplify
Wolfram Research (2012), GoodmanKruskalGamma, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GoodmanKruskalGamma.html.

テキスト

Wolfram Research (2012), GoodmanKruskalGamma, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GoodmanKruskalGamma.html.

CMS

Wolfram Language. 2012. "GoodmanKruskalGamma." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/GoodmanKruskalGamma.html.

APA

Wolfram Language. (2012). GoodmanKruskalGamma. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/GoodmanKruskalGamma.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_goodmankruskalgamma, author="Wolfram Research", title="{GoodmanKruskalGamma}", year="2012", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/GoodmanKruskalGamma.html}", note=[Accessed: 07-November-2026]}

BibLaTeX

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