IntegrateChangeVariables

IntegrateChangeVariables[integral,u,trans]

使用变换 trans 将 integral 中的变量更改为新变量 u.

IntegrateChangeVariables[integral,{u,v,…},trans]

将变量更改为新变量 u、v、….

更多信息和选项

  • IntegrateChangeVariables 也称为替代积分、u-替代积分和反向链式法则.
  • 微积分中经常通过更改变量简化积分，方法是对变量进行适当的替换或在另一个坐标系中表示，以利用问题的对称性.
  • IntegrateChangeVariables 可用于执行不定积分、定积分、多重积分和几何区域积分的变量更改.
  • 变量的更改使用变量更改公式
  • 在区间 或
  • 在区域 上（其中 表示变换 在 上的雅可比行列式）执行.
  • integral 的可能形式是 Integrate 支持的形式：
  • Integrate[f[x],x]单变量不定积分
    Integrate[f[x],{x,a,b}]单变量定积分
    Integrate[f[x,y,…],x,y,…]多元不定积分
    Integrate[f[x,y,…],{x,a,b},{y,c,d},…]多元定积分
    Integrate[f[x,y,…],{x,y,…}∈reg]区域上的多元定积分
  • 可以使用未运算的 Integrate[…] 或 Inactive[Integrate][…]. 确保 integral 不运算非常重要，因此安全的方法是使用 Inactive[Integrate][…]，它可以通过 Inactivate[integral,Integrate] 生成.
  • IntegrateChangeVariables 返回形式为 Inactive[Integrate][…] 的结果. 使用 Activate 运算新坐标中的积分. »
  • 转换 trans 可以有以下形式：
  • t==ϕ[x]由 t 替换 ϕ[x]
    {u==ϕ[x,y,…],v=ψ[x,y,…],…}由 u 替换 ϕ[x,y,…]，由 v 替换 ψ[x,y,…]，等等
    chart1chart2来自 CoordinateChartData 的命名坐标系
  • 假设变换 在其定义域上是可微的.
  • 使用命名坐标系时，可以以 CoordinateTransformData 接受的任何形式输入变换，包括 {oldsys,metric,dim}{newsys,metric,dim}、{oldsysnewsys,metric,dim} 及各种缩写形式.
  • 可以使用 Assumptions 指定对积分中变量域和参数的限制.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)

将变量更改 用于不定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 用于定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

创建一个待用的多重积分：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改应用于多重积分的近似：

运算结果：

将结果与多重积分的原始近似值进行比较：

范围  (21)

不定积分  (5)

将变量更改 应用于不定积分：

可以用旧变量以新变量的形式给出转换，：

运算结果并代回原始变量：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 应用于不定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 应用于不定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 和 应用于多重不定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将不定积分从笛卡尔坐标更改为平面抛物线坐标：

定积分  (6)

将变量更改 应用于定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 应用于定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 应用于定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 应用于定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 应用于定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改 应用于定积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

多重积分  (8)

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

上述结果在数值上与 NIntegrate 返回的结果一致：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将变量更改应用于多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

区域上的积分  (2)

将变量更改 和 应用于区域上的多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

将变量更改应用于区域上的多重积分：

运算结果：

将结果与原始积分进行比较：

应用  (4)

计算环的面积：

圆环的面积也可以用以下积分表示，与上面的结果一致：

运算结果：

计算以下区域的面积：

该区域的面积由以下积分表示：

该区域通过变换n 和 变换为下面的正方形：

运算结果：

尝试计算以下定积分； 它需要花很长时间，并且仅部分运算：

更改为极坐标得到一个大大简化的积分来运算：

上述结果在数值上与 NIntegrate 返回的结果一致：

尝试计算以下定积分； 它需要花很长时间，并且仅部分运算：

更改为极坐标得到一个大大简化的积分来运算：

上述结果在数值上与 NIntegrate 返回的结果一致：

属性和关系  (2)

不管输入的形式如何，结果总是有一个不活动的头部：

使用 Activate 运算积分：

IntegrateChangeVariables 使用来自 CoordinateChartData 和 CoordinateTransformData 的信息：

前面使用了映射和坐标范围来给出尽可能简单的结果：

Wolfram Research (2022)，IntegrateChangeVariables，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/IntegrateChangeVariables.html.

文本

Wolfram Research (2022)，IntegrateChangeVariables，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/IntegrateChangeVariables.html.

CMS

Wolfram 语言. 2022. "IntegrateChangeVariables." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/IntegrateChangeVariables.html.

APA

Wolfram 语言. (2022). IntegrateChangeVariables. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/IntegrateChangeVariables.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_integratechangevariables, author="Wolfram Research", title="{IntegrateChangeVariables}", year="2022", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/IntegrateChangeVariables.html}", note=[Accessed: 17-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_integratechangevariables, organization={Wolfram Research}, title={IntegrateChangeVariables}, year={2022}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/IntegrateChangeVariables.html}, note=[Accessed: 17-November-2024 ]}