JordanDecomposition
产生一个方阵 m 的 Jordan 分解. 结果是一个列表 {s,j},其中 s 是一个相似矩阵,j 是 m 的 Jordan 范式.
范例
打开所有单元关闭所有单元范围 (10)
基本用法 (6)
特殊矩阵 (4)
应用 (12)
广义特征向量和可对角化性 (4)
对于矩阵 ,根据真实特征向量和广义特征向量解释约旦分解的
矩阵的列:
在对应的 — 第 1、3 和 4 列— 的对角线上没有
的
的列是真正的特征向量,其中
:
证明下面的矩阵只有一个特征向量,但它有一个完整的广义特征向量链,构成了 的基:
Eigensystem 显示 84 是重数为 4 的特征值,它只有一个独立的特征向量:
JordanDecomposition 的 矩阵的第一列是找到的一个特征向量:
由于 的 NullSpace 为空,其列构成
的基:
有且仅有当方块矩阵的 矩阵为对角矩阵时,其有完整的特征向量组,因此该矩阵可对角化:
使用 DiagonalizableMatrixQ 进行验证:
可用 JordanDecomposition 将 写成可对角化矩阵和幂零矩阵的和:
对角化 (4)
对于可对角化矩阵,约旦分解直接给出其对角化为 . 将其应用于将矩阵
对角化:
令 为线性变换,其标准矩阵由矩阵
给出. 求得
的基
,在该基
中
表示的属性为对角矩阵:
令 由特征向量组成,即
的列. 当
从
坐标转换为标准坐标时,其逆向转换为相反方向:
实值对称矩阵 可正交对角化为
,其中
为实值对角矩阵且
为正交. 验证以下矩阵是对称的,然后对其进行对角化:
若 则矩阵被称为正规矩阵. 正规矩阵是最通用的一种矩阵,可以通过酉变换对角化. 所有实对称矩阵
都是正规矩阵,因为等式的两边都是
:
使用 NormalMatrixQ 验证:
矩阵函数和动态系统 (4)
然后 . 由于
是上三角形且接近对角线,因此对角线项的乘方为
,项
变为
:
通过 MatrixPower 的直接计算进行验证:
应用指数的幂级数,对角线项变成 ,而非对角线项只是重新索引的指数和. 因此,它也变成了
:
通过 MatrixExp 的计算进行验证:
验证约旦矩阵的方程 ,该约旦矩阵由下列矩阵
和函数
,
和
的单链组成:
使用 MatrixFunction 验证该计算:
MatrixFunction 验证了该结果:
由于 有参数,需要使用 D 而非 Derivative,并在
中代换:
同样,当使用 Function 输入 时,MatrixFunction 确认结果:
使用 DSolveValue 验证解:
属性和关系 (10)
JordanDecomposition[m] 给出 m 的矩阵分解为 s.j.Inverse[s]:
m 等于 s.j.Inverse[s]:
如果 m 是对角化的,Jordan 分解实际上和 Eigensystem 相同:
对于可对角化矩阵, JordanDecomposition 将函数应用简化为特征值的应用:
使用 MatrixExp 计算矩阵指数:
对于不可对角化矩阵,约旦分解将函数应用限制在每个广义特征向量链上:
对于 j 在对角线上方有 1 的列,函数应用仅扩展到对角线上方:
正规矩阵 的 SchurDecomposition[n,RealBlockDiagonalFormFalse]:
文本
Wolfram Research (1996),JordanDecomposition,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanDecomposition.html (更新于 2010 年).
CMS
Wolfram 语言. 1996. "JordanDecomposition." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2010. https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanDecomposition.html.
APA
Wolfram 语言. (1996). JordanDecomposition. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanDecomposition.html 年