机器精度矩阵的约旦分解：

格式化结果：

复矩阵的约旦分解：

具有亏特征空间 (deficient eigenspace) 的精确矩阵的约旦分解：

的第三列中的 1 表明对应于 48 的特征空间是亏的：

因此 的第三列是一个广义的特征向量，其中 给出 ，而不是 ：

任意精度矩阵的约旦分解：

符号矩阵的约旦分解：

高效计算大型数值矩阵的约旦分解：

稀疏矩阵的约旦分解：

结构化矩阵的特征系统：

IdentityMatrix 是约旦标准型：

关联的相似矩阵是单位矩阵的平方根：

HilbertMatrix 的约旦分解：

对于矩阵 ，根据真实特征向量和广义特征向量解释约旦分解的 矩阵的列：

计算约旦分解：

在对应的 — 第 1、3 和 4 列— 的对角线上没有 的 的列是真正的特征向量，其中 ：

剩余的列是一个广义特征向量，其中 ：

证明下面的矩阵只有一个特征向量，但它有一个完整的广义特征向量链，构成了 的基：

Eigensystem 显示 84 是重数为 4 的特征值，它只有一个独立的特征向量：

JordanDecomposition 的 矩阵的第一列是找到的一个特征向量：

其余的列是一个链，其中 ：

由于 的 NullSpace 为空，其列构成 的基：

有且仅有当方块矩阵的 矩阵为对角矩阵时，其有完整的特征向量组，因此该矩阵可对角化：

测试特定矩形是否对角化：

使用 DiagonalizableMatrixQ 进行验证：

估计一个由 1 和 0 组成的 4×4 矩阵对角化的概率：

对于 ，如果 ，则一个 × 的矩阵 是幂零矩阵：

考虑不可对角化的矩阵 ：

可用 JordanDecomposition 将 写成可对角化矩阵和幂零矩阵的和：

令 为 和 的对角部分形成的矩阵：

令 为 和 的超对角部分形成的矩阵：

则 i是 和 的和：

矩阵 是可对角化的：

矩阵 是幂零矩阵：

而且，矩阵 和 是可交换的：

对于可对角化矩阵，约旦分解直接给出其对角化为 . 将其应用于将矩阵 对角化：

计算约旦分解：

验证对角化：

令 为线性变换，其标准矩阵由矩阵 给出. 求得 的基 ，在该基 中 表示的属性为对角矩阵：

求 的约旦分解：

令 由特征向量组成，即 的列. 当 从 坐标转换为标准坐标时，其逆向转换为相反方向：

因此 给出 ，且为对角矩阵：

请注意，这只是对角矩阵，其项是特征值：

实值对称矩阵 可正交对角化为 ，其中 为实值对角矩阵且 为正交. 验证以下矩阵是对称的，然后对其进行对角化：

计算约旦分解：

令 等于 ：

令 在正规化其列后等于 ：

验证 实际上为正交矩阵：

验证 ：

若 则矩阵被称为正规矩阵. 正规矩阵是最通用的一种矩阵，可以通过酉变换对角化. 所有实对称矩阵 都是正规矩阵，因为等式的两边都是 ：

证明下面的矩阵是正规的，并对其进行对角化：

使用 NormalMatrixQ 验证：

计算约旦分解：

不像实对称矩阵，该对角矩阵的值为复数：

对 的列进行正规化得到酉矩阵：

验证对角化 ：

使用约旦分解计算下列矩阵 的 话 ：

计算 和 矩阵：

验证单位矩阵 ：

然后 . 由于 是上三角形且接近对角线，因此对角线项的乘方为 ，项 变为 ：

因此 的表达式为：

通过 MatrixPower 的直接计算进行验证：

应用指数的幂级数，对角线项变成 ，而非对角线项只是重新索引的指数和. 因此，它也变成了 ：

因此 的表达式为：

通过 MatrixExp 的计算进行验证：

验证约旦矩阵的方程 ，该约旦矩阵由下列矩阵 和函数 , 和 的单链组成：

首先计算 的方程：

使用 MatrixFunction 验证该计算：

的计算也类似：

MatrixFunction 验证了该结果：

由于 有参数，需要使用 D 而非 Derivative，并在 中代换：

同样，当使用 Function 输入 时，MatrixFunction 确认结果：

求解常微分方程组 , , . 首先，构建右侧的系数矩阵 ：

计算 的约旦分解：

使用前面例子的方程式， 由下式给出：

通解为 ，对于三个任意的起始值：

使用 DSolveValue 验证解：

当 是以下随机矩阵时，生成动态系统 的一般解：

计算 的约旦分解：

由于 为对角矩阵， 仅包括对角项的 次幂：

通解为 ：

验证 满足动态方程：