求一点的极限：

求在符号点处的极限：

求在 -Infinity 的极限：

当首先 ，然后 的嵌套极限：

当 ，然后 的嵌套极限：

当 ，计算多变量极限：

使用 lim 输入 \[Limit] 字符，和 创建下标：

通过在极限点上使用上标 或 获取上下极限：

输入 0 后，使用 创建上标：

指定 Reals 或 Complexes 的方向，在  字符上以下标形式输入域：

输入规则 ->，使用 创建一个下标，然后键入 reals 以输入 ：

TraditionalForm 格式:

多项式和有理函数：

函数 在 的两侧都趋近于正无穷：

代数函数：

当函数在 的两侧分别趋近于不同的无穷大时，极限不存在：

三角函数：

有垂直渐近线的三角函数：

在原点没有极限的极度振荡函数：

指数函数：

对数函数：

函数像 Sqrt 和 Log 沿着负实轴有两边极限：

如果在复平面从上方趋近，会达到同样的极限值：

然而从复平面下方趋近会产生不同的极限值：

这是因为分支分割，在轴交叉处，虚部反转了符号：

不存在复平面的极限：

在 ±Infinity 处的代数函数极限：

在 ±Infinity 处，三角函数的极限：

可视化 及其在正负无穷处的极限：

尽管存在振荡，该函数在 时无界增长：

在无穷处，指数和对数函数的极限：

计算嵌套的指数对数极限：

不连续的分段函数：

The value of the function at lies away from the nearby values of the function as :

左连续的分段函数：

该函数是左连续的，因为 与 从左趋近于 0 时的极限一致：

UnitStep 是高效的右连续分段函数：

该函数是右连续的，因为 与 从右趋近于 0 时的极限一致：

RealSign 是高效的不连续分段函数：

函数 的值与 从左右两侧趋近于 0 时的极限均不一致：

求当 x 从更大的数趋近时，Floor 的极限：

求当 x 从更小的数趋近时，Floor 的极限：

包含 Gamma 的极限：

包含贝塞尔型函数的极限：

包含指数积分的极限：

在每个非正偶整数，Gamma 从左边趋近 ，从右边趋近 ：

对于负奇整数，符号是反的：

当 ，然后 计算嵌套极限：

通过计算两个 Limit 表达式，获取同样的结果：

当 ，然后 ，计算极限产生不同的答案：

这个等于两个嵌套的极限：

当 ，然后 的嵌套极限是 ：

当 ，然后 的嵌套极限是 ：

考虑原点处两个变量的函数：

当 ，然后 的迭代极限是 ：

当 ，然后 的迭代极限是 ：

因为极限值依赖于次序，双变量的极限不存在：

可视化函数和之前沿着两轴计算的值：

计算当 ，函数的双变量极限：

如果对于所有 ，有 ，其中 蕴涵 ，那么极限值是 ：

对于这个函数，值 会满足：

函数位于斜率为 的两个圆锥之间：

求多变量函数的极限：

存在各种迭代极限：

沿着曲线 接近原点产生第三个结果：

函数的真二维极限不存在：

可视化接近原点的极限：

求原点处双变量函数的极限：

原点处真二维极限是 0：

用极坐标重新表示函数：

极坐标表示是有界的，当 的极限是：

计算三变量函数的极限：

原点处的极限不存在：

在 和 平面上存在极限：

但是在 平面上的极限是取决于方向：

可视化函数：

使用 Assumptions 指定参数上的条件：

不同的假设会产生不同的结果：

依赖参数的极限：

上限：

等同于：

下限：

等同于：

在分段的间断点处的极限：

在单极点处的极限：

在分支线的极限：

计算从不同象限趋近的双边极限：

从第一象限趋近原点：

等同于：

从第二象限趋近原点：

从左半平面趋近原点：

从下半平面趋近原点：

可视化函数：

返回一个没有表述条件的结果：

该结果只在 n>0 有效：

如果结果依赖于参数值，返回未计算的：

默认情况下，产生返回唯一结果的条件：

默认情况下，如果只有特殊值使结果无效，则不会产生条件：

当 GenerateConditions->True，甚至会报告这些非通用条件：

使用 Method{"AllowIndeterminateOutput"False} 避免 Indeterminate 结果：

对于振荡函数，边界会作为 Interval 对象返回：

使用 Method{"AllowIntervalOutput"False} 避免 Interval 对象结果：

使用 PerformanceGoal 避免潜在的昂贵计算：

默认设置使用所有可用技术来尝试产生结果：

当 ，函数 的极限是 ：

这意味着当 的值接近 ， 有值接近 ：

可视化函数：

极限对于在 处的 值没有声明，在这个例子是不确定：

当 趋近 ，函数 没有极限：

函数 有极限 0：

在增加的 周围的小区域， 连续在 之间弹跳，但是 在平坦的增加：

当 ，下面有理函数有有限的极限：

计算 ，保证当 ，有 ：

复杂的结果可以被简化，通过在 0 和 2 之间聚焦 ：

的图总是通过边，不是顶部或底部“离开”中心在 ，高为 ，宽为 的长方形：

求有理函数的垂直和水平渐近线：

计算当分母为 0 的值：

验证函数在计算的值处趋近 ：

计算 处的极限值：

可视化函数和渐近线：

求函数的非垂直、线性渐近线：

渐近线的斜率：

计算渐近线的垂直截距：

可视化函数和其渐近线：

分类原点处的 f 的连续性或不连续性：

没有在 0 处定义，因此不连续：

而且，当 x0，不存在极限：

然而，存在下限：

也存在上限，是不同的值：

因此， f 在 0 处由跳跃不连续性：

分类在原点处的 f 的连续性和不连续性：

函数已定义：

存在两边极限，但是不等于函数值，因此这是可移动的不连续性：

找到并分类分段函数的不连续性：

函数在 0 点没有定义，因此，在那里不连续：

函数两边趋向于 Infinity，因此它是无穷不连续：

接着查找极限在哪里不等于函数：

在 x==3 不存在极限，这是可移动的不连续性：

函数 在 的每个倍数处不连续：

比如，在原点，给出不确定格式 ：

在 的每个偶倍数， 的双边极限存在：

在 的奇倍数也是这样，是不同的极限值：

然而，在 的半整数倍处，不存在双边极限：

函数 与 一样，均被定义，但是也在 的倍数处连续：

显示 在原点连续：

可视化 和 ：

确定下面函数是否在原点连续，沿着射线是否存在极限：

不存在双变量极限，因此函数不连续：

左半平面存在极限是 0，因此任何从那里趋近的射线有同样的极限：

沿着线 趋近，当 ，给出类似斜率的结果：

可视化四条射线，斜率为 ：

使用导数定义计算 的导数：

首先计算差分商：

当差分商的 ，导数是其极限：

计算在 处的 的导数：

差分商的极限不存在，因此 在原点不可微：

注意，存在差分商的左右极限，但是不等的：

在这种情况，左右导数等于来自于左右的 的极限：

可视化 和其导数；前者在 0 处有“扭结”，后者是跳跃不连续：

确定在 处的 的微分性：

存在差分商的极限，因此 可微，且 ：

注意，当 ， 不存在极限，因此 不连续：

决定在点 处， 的可微性：

存在关于 x 的偏导：

关于 y 的偏导也存在：

然而，线性条件 失败，因此 不可微：

可视化函数：

注意， 的偏导无处不在：

但是，在点 不连续：

导数定义为差分商的极限：

通过求二阶差分商的极限计算二阶导：

通过取极限直接计算混合偏导 ：

计算出 是 Infinity 处的极限：

原点的互补极限：

计算出 是 Gamma 函数的极限：

计算出 EulerGamma 是涉及 Zeta 函数的极限：

计算出 EulerGamma 是指数积分的极限：

如果 ，函数 在 处是 "little-o of "，写作 ：

类似，如果 ， 是 "little-omega of "，写作 ：

如果 ，那么 ：

有可能，两个函数没有任何关系：

而且，函数间以及自己也没有任何关系：

因此， 和 定义函数的偏序：

，如果 到 0 快于 ：

表明相反的关系：

注意，两个列表不是精确的反向，因为 和 是不可比的：

根据泰勒理论，如果 在 处有 个连续导数，那么 ：

这是在 处的第五阶泰勒多项式：

的定义是 ：

验证 ：

在狭义相对论中，质量 和速度 的粒子的动能由下式给出：

动能的典型公式为：

在速度趋于 0 的极限中，这两个公式一致：

广义积分：