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RStability

RStabilityConditions[eqn,a[n],n]

再帰方程式の固定点と安定性条件を与える．

RStabilityConditions[{eqn₁,eqn₂,…},{a₁[n],a₂[n],…},n]

再帰方程式系の固定点と安定性条件を与える．

RStabilityConditions[{eqn₁,eqn₂,…},{a₁[n],a₂[n],…},n,{pnt₁,pnt₂,…}]

指定された固定点についての安定性条件だけを与える．

詳細とオプション

安定性は漸近安定性として，また，固定点は平衡点または停留点としても知られている．
RStabilityConditionsは，固定点近くの長期的な挙動の定性的解析によく使われる．系が安定していれば，十分近いなら解は固定点に収束する．
再帰方程式の系について，点はのときかつそのときに限って固定点である．実際，で初期化するとのままなので，の初期値は固定点のままである．
とについて，十分小さいについて $TemplateBox[{{a, (, n, )}, n, infty}, Limit2Arg]=a^*$ のときかつそのときに限って，固定点は漸近的に安定している．

RStabilityConditionsは{{{,,…},cond},…}の形のリストを返す．ただし，{,,…}は固定点である．
RStabilityConditionsは固定点の局所的安定性のために十分な条件を与える．線形系については，これらの条件は大域的安定性の条件でもある．
RStabilityConditionsは，線形と非線形の常差分方程式に使うことができる．
次は，使用可能なオプションである．
Assumptions $Assumptions パラメータについての仮定

例題

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例 (8)

固定点を求め，再帰式の安定性を判定する：

固定点を求め，再帰式 +1の安定性を判定する：

再帰式の固定点と安定性の条件を求める：

a のさまざまな値についてのいくつかの解をプロットする：

二次元系の安定性解析：

系が安定するパラメータ領域をプロットする：

非線形再帰方程式の安定性解析：

クモの巣プロットを使って安定性を示す：

系 , について考える：

差分とを計算して系のベクトル場プロットを生成する：

定数係数を持つ線形系の安定性：

VectorPlotを使って安定性を可視化する：

3つの常微分方程式の非線形系について固定点を求める：

最初の点の安定性を調べる：

2番目の点の安定性を調べる：

スコープ (14)

線形方程式 (4)

固定点を求めて再帰式におけるその安定性を判定する：

一次線形非同次方程式：

についての解をプロットする：

についての解をプロットする：

二次線形方程式：

安定性領域をプロットする：

三次線形方程式：

安定性領域をプロットする：

非線形方程式 (3)

ロジスティック方程式の安定性：

解をプロットする：

クモの巣プロットを使って安定性を示す：

Riccati方程式の安定性：

クモの巣プロットを使って安定性を示す：

高次方程式：

線形系 (5)

非結合方程式の線形系の安定性：

定数係数を持つ線形系の安定性：

VectorPlotを使って安定性を可視化する：

境界条件を持つ系を解く：

解をプロットする：

周期係数を持つ一次系：

一般解と比較する：

最終的に周期的になる係数を持つ一次系：

ランダムな定数係数を持つ10x10離散線形系の安定性を解析する：

非線形系 (2)

非線形一次系：

最初の固定点の安定性だけをチェックする：

2番目の固定点の安定性だけをチェックする：

線形分数系の安定性：

VectorPlotを使って点における安定性を可視化する：

オプション (1)

Assumptions (1)

Assumptionsがないと，安全性についてパラメータに条件が生まれる：

Assumptionsを使うと条件が簡約されることが多い：

アプリケーション (8)

数値解析 (3)

関数x²-aについてのニュートン・ラフソン(Newton–Raphson)差分方程式を解析する：

このメソッドの再帰方程式は以下である：

系の安定性を調べる：

のときの固定点の安定性を可視化する：

関数x^1/3についてのニュートン・ラフソン差分方程式の安定性を解析する：

このメソッドの再帰方程式は以下である：

この方程式は，原点に一つの不安定な固定点を持つ：

点の不安定性は，この場合はニュートン法が使えないことを意味する：

以下のような線形方程式の系について考える：

この系についてのガウス・サイデル(Gauss–Seidel)差分方程式を構築する：

ガウス・サイデル方程式の安定性を解析する：

LinearSolveを使って系を解く：

物理学 (1)

一定温度の環境内にある温度の物体について考える．が時間による物体内の温度変化であるとする．ニュートンの冷却法則によると，物体の温度の変化率は物体とその周囲の温度の差に比例する：

なら，この方程式は安定する：

方程式の解：

冷却過程のシミュレーションを行う：

加熱過程のシミュレーションを行う：

生態学と生物学 (2)

競合種モデルについての安定性解析：

指定された初期条件で方程式を解き，解をプロットする：

捕食者被食者モデルの安定性解析：

モデルのベクトル場プロット：

系を解いて解をプロットする：

経済学 (2)

初回入金額，年率，毎月の引き出し金額の銀行口座について考える．ヶ月後の貯蓄預金口座の金額は次の再帰方程式を満足する：

この方程式には不安定な固定点がある：

なら預金口座の残高は毎月増加する：

ロジスティック方程式の安定性解析：

固定点の安定性をチェックする：

パラメータの指定された範囲における安定性をチェックする：

についての安定性を可視化する：

についての安定性を可視化する：

特性と関係 (8)

RStabilityConditionsは再帰方程式の固定点と安定性条件を返す：

RFixedPointsを使って再帰方程式のすべての固定点を求める：

特定の固定点における安定性を解析する：

RFixedPointsを使って非線形再帰方程式の固定点を求める：

Solveを使って固定点を求める：

最初の固定点付近で方程式を線形化する：

最初の固定点付近の安定性をチェックする：

2番目の固定点付近で方程式を線形化する：

2番目の固定点付近の安定性をチェックする：

RStabilityConditionsを使って非線形方程式の安定性を判定する：

n 次再帰方程式の固定点は n 次元ベクトルである：

n 個の一次再帰方程式の系の固定点は n 次元ベクトルである：

2つの常微分方程式の系の安定性を解析する：

RSolveValueで，定常点を初期条件として使って系を解く：

RSolveValueを使って指定された初期条件について系を解く：

解をプロットする：

非線形常微分方程式の安定性を解析する：

RecurrenceTableを使って常微分方程式を解く：

解をプロットする：

最終的に定数になる係数を持つ再帰方程式の安定性を解析する：

AsymptoticRSolveValueを使って級数解を求める：

漸近解をプロットする：

考えられる問題 (2)

安定性についての条件が可能な限り最も単純なものではないことがある：

さらに処理することで追加的な簡約ができることがある：

与えられた点が固定点ではないのでRStabilityConditionsはうまくいかない：

まずRFixedPoints 使って方程式のすべての固定点を求める：

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