有限体パッケージ

体とは，四則演算の規則に従った代数構造のことである．特に，体は加算と乗算の二項演算を持つ．どちらの二項演算も可換性および結合性がある．体には，加法単位元0と乗法単位元1の2つの特殊な元がある．このパッケージでは，体の元に対する演算が適切に定義されるように， Plus，Times，Powerに規則を追加する．また，有限体を扱うため，また有限体の元を設定するための低レベルのユーティリティも提供している．

どの有限体にも体の標数と呼ばれる固定された素数 がある．体の元1の 個の和が体の元0となる．標数 の有限体には，大まかに拡大次数と呼ばれる任意の正の整数 について 個の元がある．このパッケージでは，体の元を一変数多項式として表す．多項式の次数は最大 次で，係数は を法とする整数である．

有限体の元の内部形式は，GF[p,ilist][elist]である．ここでGFとはガロア体， とは体の素数標数，ilist とは体における乗法を定義する既約多項式の係数リスト，elist は特定の元を表す多項式の係数リストのことである．この形式は少し煩雑なので，このパッケージでは有限体の元を入力するためのショートカットを提供している．

有限体の元の入力方法

個の元を持つ体での乗算である．

ゼロは特殊である．このパッケージでは，どの体にあるかに関わらずゼロはゼロと想定している．この結果，体の元ゼロは自動的に整数0に簡約される．Wolfram言語の関数の多くはこの想定のもとでよりよいパフォーマンスが期待できる．この想定は，厳密に言えば正しくないが，無意味な入力がされない限り無意味な出力を生成しない．

体の元ゼロは演算後に整数のに簡約される．

異なる体からの元ゼロの合計もに簡約される．

体の元のフォーマット

有限体の元をFullFormで常に入力・出力することは可能であるが，このパッケージではショートカットもいくつか提供している．素体の元はGF[p][{k}]あるいはGF[p,1][{k}]と書くことができ，そのどちらともGF[p,{0,1}][{k}]であると解釈される．一般に， で が素数， が正の整数ならば，GF[s]はGF[p,d]であると解釈される．式GF[3, 4]は3を法とした拡大次数が4の整数，つまり81の元を持つ体を表している．このパッケージでは，この形式が使われると，ilist によって与えられる係数を持つ既約多項式，およびGF[p,ilist][{0,1}]が体の原始元という特性を持つ既約多項式が自動的に選ばれる．しかし，GF[3,{1,1,1,1,2,1}]のように明示的に示すことにより，自分で既約多項式を与えることもできる．

有限体の元のデフォルトであるOutputFormは体の標数が下付き文字となる整数のリストである．このリストの長さは，素体上の拡大体の次数である．任意の体を1つだけ扱っているときは，指定された元がどの体に含まれているかを判別するのにデフォルトで十分である．

異なる既約多項式を使うと同じ大きさの体を複数作ることができるので，これらの体の元が判別できると便利である．また，有限体の元を入力するより簡単な方法があるのも役に立つ．関数SetFieldFormatは元の入力および出力形式を構築する．すでに説明した方法で元を入力することは常に可能であり，明示的に出力をFullFormにすることもできる．

GF[2,3]のような体の頭部がシンボルに割り当てられている可能性があることに注意．f8=GF[2,3]という割当てにより，f8[{1,0,1}]を使って特定の元を参照することができる．

体のパラメータ関数

Characteristic，ExtensionDegree，FieldSize，FieldIrreducible，IrreduciblePolynomialの5つの関数は，有限体について重要なパラメータを与える．

元の操作の関数

Successor，ReduceElement，ToElementCode，FromElementCode，PolynomialToElement，ElementToPolynomialの6つの関数は，有限体の元を扱うためのものである．

高速の乗算・除算をサポートする関数

有限体は，素数乗の数の元を持たなければならない．有限体に 個の元があり， が素数とすると，これは を法とする整数と同形である．この場合，このパッケージは整数に対して通常通り加算，減算，乗算，正のベキ乗を行い，Modを使って結果を簡約する．負のベキ乗にはPowerModを使用する．

体に 個の元()がある場合は，次数が より小さく， を法とする整数の係数を持つある変数についての1組の多項式と同形である．加算は，係数が を法として簡約されることを除いて，多項式の加算と同じである．乗算では，積は を法とする整数上の（因数分解不可能な）既約多項式を法として簡約される．

乗法の逆数を取ることは，既約多項式で を法とする拡張最大公約数の係数を求めることと同じである．つまり，体の元 elem と体の既約多項式 irred があるとしたときに，PolynomialGCD[elem,irred,Modulus->p]がPolynomialMod[a elem + b irred,p]と同じになるような多項式 と を見付けるのである．PolynomialGCDの結果が一致していれば， は elem の逆数である．

任意の有限体の乗法群は巡回的であるという事実に基づくと，乗算を行ったり逆数を計算したりするより早い方法がある．群の生成元とその生成元の正のベキ乗のリストが順にあるなら，乗算と除算はリスト内の要素の指数の加算・減算に簡単化することができる．

このパッケージは，原始元のベキ乗を表すリストから体のオブジェクトを生成(PowerListToField)すること，あるいは，体のオブジェクトから原始元のベキ乗を表すリストを生成(PowerList)することを可能にすることにより，上記の計算方法をサポートしている．PowerListQをTrueと設定すると，離散指数関数FieldExpと離散対数関数FieldIndを定義することにより，体の演算に原始元のベキ乗のリストが使われるようになる．FieldInd関数は体の指標関数と呼ばれることがよくある．ベキ乗のリストは，どの原始元を選ぶか，また，体の表現にどの既約多項式を使うかに依存している．FieldInd[elem]がFieldSize[f]-1と互いに素である体の元はすべて，その体の原始元でもある．

原始元のベキ乗のリストを使った体の演算には2つの欠点がある．リストの入力もしくは計算に時間がかかるということと，リストがかなりのメモリを使用する可能性があるという点である．一般に，少数の演算しか行っていない場合や大きい体を扱っている場合は，リストを作成しない方がよい．PowerListQをFalseと設定すると，特定の体でこの演算方法が使えなくなるが，FieldExpやFieldIndで計算された値を破壊することはない．

書籍の中には，PowerListによって与えられるリストと同等の表を含んでいるものもある．関数PowerListToFieldは，そのようなリストを使って体を定義することを可能にする．PowerListToFieldの引数は 組の整数の のリストである．最初の 組は体の個の元を表す多項式の係数を与えるものとされている．これは係数の定数項が最初にリストされるか最後にリストするかを決定するために使われる．2番目の 組は体の原始元を表すものと想定されている．この後の 組は2番目の元に続くベキ乗を表すものと想定されている．PowerListToFieldは初歩的なエラーチェックを行い，入力リストが妥当であることを検証する．妥当であれば，PowerListToFieldは標数や既約多項式など，体のパラメータを計算する．

他のWolfram言語関数との互換性

ほとんどのWolfram言語関数は任意の体で動作するようには設計されておらず，実際そのように設計することは不可能である．例えば，有限体のオブジェクトを含む式を積分しても無意味である．せいぜいそのような関数は，そのような式が与えられても何もしないであろう．

通常，このような関数は体のオブジェクトを未知のシンボルとして扱うものと想定できる．有限体のオブジェクトを持つ式に対して関数を使う前に，まずテストしてみるのが賢明である．合理的に動作すると思われる関数のタイプには，線形代数関数と多項式関数がある．