AngerJ

AngerJ[ν,z]

アンガー(Anger)関数を与える．

AngerJ[ν,μ,z]

アンガー陪関数を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
は微分方程式を満足する．
は $TemplateBox[{nu, z}, AngerJ2]=1/piint_0^picos(theta nu-z sin(theta))dtheta$ によって定義される．
AngerJ[ν,z]は不連続な分枝切断線を持たない z の整関数である．
は $TemplateBox[{nu, mu, z}, AngerJ]=1/piint_0^pi(2sin(theta))^mucos(theta nu-z sin(theta))dtheta$ によって定義される．
特別な引数の場合，AngerJは自動的に厳密値を計算する．
AngerJは任意の数値精度で評価することができる．
AngerJは自動的にリストに縫い込まれる．
AngerJはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (4)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: AngerJ[1 / 2, 5.0]

実数の部分集合上でをプロットする：

Wolfram Language code: ReImPlot[AngerJ[1 / 2, x], {x, -25, 25}, PlotRange -> All]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[AngerJ[2, z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, PlotLegends -> Automatic]

原点における級数展開：

Wolfram Language code: Series[AngerJ[1 / 2, x], {x, 0, 4}]//FullSimplify

スコープ (39)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: AngerJ[1, 2.0]

Wolfram Language code: AngerJ[1, -3.0]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[AngerJ[2, 3], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: AngerJ[1 / 3, 1.000000000240000000000000000000]

複素数入力：

Wolfram Language code: N[AngerJ[2, 3 + I]]

高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: AngerJ[2, 3.`100]//Timing

Wolfram Language code: AngerJ[2, 4.`10000];//Timing

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Wolfram Language code: AngerJ[1, Interval[{0.5, 0.6}]]

Wolfram Language code: AngerJ[1.2, CenteredInterval[2, 1 / 10]]

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

Wolfram Language code: AngerJ[2, Around[2, 0.01]]

配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: AngerJ[ 2, {{5 / 6, 0}, {1 / 2, -1 / 3}}]

MatrixFunctionを使って行列のAngerJ関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[AngerJ[2, #]&, {{5 / 6, 0}, {1 / 2, -1 / 3}}]

特定の値 (7)

無限大における極限値：

Wolfram Language code: Limit[AngerJ[ν, x], x -> Infinity]

ゼロにおける値：

Wolfram Language code: AngerJ[1, 0]

Wolfram Language code: AngerJ[0, 0]

記号的なとについてのAngerJ：

Wolfram Language code: AngerJ[ν, x ]//FunctionExpand

AngerJの最初の正の最大値を求める：

Wolfram Language code: xmax = x /. FindRoot[D[AngerJ[1, x ], x] == 0, {x, 2}]

Wolfram Language code: Plot[AngerJ[1, x], {x, 0, 8}, Epilog -> Style[Point[{xmax, AngerJ[1, xmax]}], PointSize[Large], Red]]

AngerJは整数次数のBesselJに簡約される：

Wolfram Language code: AngerJ[3, x]//FunctionExpand

簡単な厳密値は自動的に生成される：

Wolfram Language code: AngerJ[ν, 0]

AngerJを半整数次数で評価する：

Wolfram Language code: Table[AngerJ[ν, x], {ν, {-1 / 3, 1 / 2}}]//FunctionExpand

可視化 (3)

AngerJ関数を整数()と半整数()の次数についてプロットする：

Wolfram Language code: ReImPlot[{AngerJ[0, x], AngerJ[1, x], AngerJ[-1 / 2, x]}, {x, -10, 10}]

の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[AngerJ[0, z]], {z, -4 - 4I, 8 + 4I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[AngerJ[0, z]], {z, -4 - 4I, 8 + 4I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[AngerJ[-1 / 4, z]], {z, -4 - 4I, 8 + 4I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[AngerJ[-1 / 4, z]], {z, -4 - 4I, 8 + 4I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

関数の特性 (15)

の実領域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[AngerJ[0, x], x]

の複素領域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[AngerJ[0, z], z, Complexes]

はすべての実数値について定義される：

Wolfram Language code: FunctionDomain[AngerJ[-1 / 2, x], x]

複素領域は平面全体である：

Wolfram Language code: FunctionDomain[AngerJ[-1 / 2, z], z, Complexes]

の値域を近似する：

Wolfram Language code: FunctionRange[AngerJ[0, x], x, y]//N//Quiet

の値域を近似する：

Wolfram Language code: FunctionRange[AngerJ[1, x], x, y]//N//Quiet

は偶関数である：

Wolfram Language code: AngerJ[0, -x] == AngerJ[0, x]

は奇関数である：

Wolfram Language code: AngerJ[1, -x] == -AngerJ[1, x]

FullSimplifyを使ってアンガー関数を簡約する：

Wolfram Language code: FullSimplify[x AngerJ[2, x] + x AngerJ[0, x]]

AngerJは要素単位でリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: AngerJ[1 / 2, {0.1, 0.2, 0.3}]

はの解析関数である：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[AngerJ[2, x], x]

AngerJは非減少でも非増加でもない：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[AngerJ[2, x], x]

は単射ではない：

Wolfram Language code: FunctionInjective[AngerJ[2, x], x]

Wolfram Language code: Plot[{AngerJ[2, x], .2}, {x, -10, 10}]

は全射ではない：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[AngerJ[2, x], x]

Wolfram Language code: Plot[{AngerJ[2, x], 1}, {x, -10, 10}]

AngerJは非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[AngerJ[2, x], x]

Wolfram Language code: FunctionSign[AngerJ[1, x], x]

AngerJは特異点も不連続点も持たない：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[AngerJ[2, x], x]

Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[AngerJ[2, x], x]

AngerJは凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[AngerJ[2, x], x]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: AngerJ[ν, x]//TraditionalForm

Wolfram Language code: AngerJ[ν, μ, x]//TraditionalForm

微分と積分 (5)

についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[AngerJ[ν, x], x]

Wolfram Language code: D[AngerJ[ν, μ, x], x]

についての高次導関数：

Wolfram Language code: Table[D[AngerJ[ν, x], {x, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

のとき，についての高次導関数をプロットする：

Wolfram Language code:

Plot[Evaluate[% /. {ν -> 1 / 4}], {x, -10, 10}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative"}]

のときのについての次導関数の式：

Wolfram Language code: D[AngerJ[3, x], {x, k}]// FullSimplify

AngerJの不定積分：

Wolfram Language code: Integrate[AngerJ[ν, x], x]//FullSimplify

Wolfram Language code: Integrate[AngerJ[ν, μ, x], x]//FullSimplify

他の積分：

Wolfram Language code: ∫ x AngerJ[ν, x]ⅆx//TraditionalForm

Wolfram Language code: ∫ x^αAngerJ[ν, μ, x^2]ⅆx//TraditionalForm

級数展開 (3)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[AngerJ[ν, x], {x, 0, 3}]

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code:

terms = Normal@Table[Series[Hypergeometric0F1Regularized[1 / 3, x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}];
Plot[{Hypergeometric0F1Regularized[1 / 3, x], terms}, {x, -10, 10}, PlotRange -> {-10, 10}]

SeriesCoefficientを使った級数展開における一般項：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[AngerJ[ν, x], {x, 1, n}]

生成点におけるテイラー展開：

Wolfram Language code: Series[AngerJ[ν, x], {x, x0, 2}]// FullSimplify

特性と関係 (2)

FunctionExpandを使ってAngerJを超幾何関数に展開する：

Wolfram Language code: FunctionExpand[AngerJ[ν, x]]

アンガー関数とウェーバー関数の関係：

Wolfram Language code: FunctionExpand[Sin[Pi ν]AngerJ[ν, x] == Cos[Pi ν]WeberE[ν, x] - WeberE[-ν, x]]//Simplify

Wolfram Language code: FunctionExpand[Sin[Pi ν]WeberE[ν, x] == -Cos[Pi ν]AngerJ[ν, x] + AngerJ[-ν, x]]//Simplify

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