AsymptoticRSolveValue

AsymptoticRSolveValue[eqn,f,x∞]

计算差分方程 eqn 的渐近逼近，f[x] 在 附近.

AsymptoticRSolveValue[{eqn1,eqn2,…},{f1,f2,…},x ∞]

计算差分方程组的渐近逼近.

AsymptoticRSolveValue[eqn,f,x,ϵϵ0]

计算 f[x,ϵ] 的渐近逼近，其中参数 ϵ 以 ϵ0 为中心.

AsymptoticRSolveValue[eqn,f,…,{ξ,ξ0,n}]

计算 n 阶渐近逼近.

更多信息和选项

  • 差分方程的渐近逼近亦被称为渐近展开式、摄动解、正则摄动等. 也可用计算其中一些式子的特定方法来称呼它们，如泰勒级数和 Frobenius 级数.
  • 渐近逼近通常用于求解无法找到精确解的问题，或者为计算、比较和解释寻求更简单的答案.
  • AsymptoticRSolveValue[eqn,…,xx0] 计算 eqn 的渐近展开式的首项. 用 SeriesTermGoal 可指定计算更多的项.
  • 如果精确结果为 g[x]，在 x0 处的 n 阶渐近逼近为 gn[x]，那么当 xx0 时，结果为 AsymptoticLess[g[x]-gn[x],gn[x]-gn-1[x],xx0] 或 g[x]-gn[x]∈o[gn[x]-gn-1[x]].
  • 渐近逼近 gn[x] 常以和 gn[x]αkϕk[x] 的形式给出，其中 {ϕ1[x],…,ϕn[x]} 是当 xx0 时的渐近尺度 ϕ1[x]≻ϕ2[x]≻⋯>ϕn[x]. 则当 xx0 时，结果为 AsymptoticLess[g[x]-gn[x],ϕn[x],xx0] 或 g[x]-gn[x]∈o[ϕn[x]].
  • 常见的渐近尺度包括：
  • Taylor 尺度，当 xx0 时
    Laurent 尺度，当 xx0 时
    Laurent 尺度，当 x±∞ 时
    Puiseux 尺度，当 xx0 时
  • 用于表示渐近逼近的尺度是从问题中自动推断出来的，通常可以包含更多的奇异尺度.
  • 中心点 x0 可为任意有限或无限大实数或复数.
  • 阶数 n 必须为一个正整数，指定渐近解的近似阶数. 与多项式的次数无关.
  • 规约 f∈Vectors[n] 或 f∈Matrices[{m,n}] 可用于分别表示因变量 f 是向量值变量或矩阵值变量. » »
  • 可以给出以下选项：
  • AccuracyGoalAutomatic寻求的绝对准确度
    Assumptions$Assumptions对参数的设定
    GenerateConditionsAutomatic是否给出与参数的条件有关的答案
    GeneratedParameters None怎样命名生成的参数
    MethodAutomatic所用的方法
    PerformanceGoal$PerformanceGoal优化目标
    PrecisionGoalAutomatic寻求的精度
    SeriesTermGoalAutomatic近似式的项数
    WorkingPrecisionAutomatic内部计算中使用的精度
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时， AsymptoticRSolveValue 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

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基本范例  (4)

计算一个差分方程的渐近近似：

求差分方程的级数解：

绘制解：

求摄动问题的渐近展开式：

绘制解：

求一个函数方程的渐近展开式：

范围  (13)

基本用法  (2)

计算常微分方程 (OΔE) 阶数为 2 的级数解：

获取不同项数的级数近似：

常点  (2)

求具有常点 Infinity 的线性一阶常微分方程的级数解：

绘制解：

具有常点 Infinity 的线性二阶常微分方程的级数解：

绘制解：

正则奇点  (2)

求具有正则奇点 Infinity 的线性一阶常微分方程的 Frobenius 级数解：

绘制解：

具有正则奇点 Infinity 的线性二阶常微分方程的级数解：

绘制解：

非正则奇点  (3)

具有非正则奇点 Infinity 的线性一阶常微分方程的渐近展开式：

具有非正则奇点的线性二阶常微分方程的渐近展开式：

具有非正则奇点的线性三阶常微分方程的渐近展开式：

用对数尺度绘制解：

常微分方程组  (4)

求由两个一阶常微分方程组成的线性方程组在 n=∞ 处的级数解：

绘制解的分量：

求由三个一阶常微分方程组成的线性方程组在 n=∞ 处的级数解：

计算任意常数取特定值且 时的解：

用 RecurrenceTable 求 时的解：

与近似值相比较：

使用向量变量在 n=∞ 处求得线性 ODE 方程组的级数解：

使用矩阵变量在 n=∞ 处计算线性 ODE 方程组的级数解：

选项  (1)

GeneratedParameters  (1)

使用不同的已命名常数：

使用有下标的常数：

应用  (6)

基本应用  (2)

计算差分方程的近似解：

计算高阶近似解：

求 Gamma 的渐近逼近：

求序列中某个项的近似值：

与精确值相比较：

特殊序列  (4)

求 Fibonacci 序列的渐近逼近，从这个序列满足的差分方程的展开式开始：

验证对于较大的 n，展开式的第一个分量趋近于 0：

将第一个分量设为 0：

为 赋值：

求序列中某个项的近似值：

与相应的 Fibonacci 数相比较：

求三阶 Fibonacci 序列的渐近逼近，从这个序列满足的差分方程的展开式开始：

验证对于较大的 n，展开式的第二个和第三个分量趋近于 0：

将第二个和第三个分量设为 0：

为 赋值：

求序列中某个项的近似值：

与相应的 Fibonacci 数相比较：

求摄动 Fibonacci 序列的渐近逼近，从这个序列满足的差分方程的展开式开始：

验证对于较大的 n，展开式的第一个分量趋近于 0：

将第一个分量设为 0：

为 赋值：

求序列中某个项的近似值：

与相应的摄动 Fibonacci 数相比较：

计算 Apéry 序列的领头 (leading-order) 渐近项，它满足以下线性二阶差分方程：

获取领头渐近项：

验证对于较大的 n，展开式的第一个分量趋近于 0：

将第一个分量设为 0：

根据序列的定义和 (defining sum) 为 赋值：

求序列中某个项的近似值：

与相应的 Apéry 数相比较：

属性和关系  (3)

解满足给定阶数的差分方程：

用 RSolveValue 求精确解：

用 RecurrenceTable 求数值解：

Wolfram Research (2019)，AsymptoticRSolveValue，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticRSolveValue.html （更新于 2020 年）.

文本

Wolfram Research (2019)，AsymptoticRSolveValue，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticRSolveValue.html （更新于 2020 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2019. "AsymptoticRSolveValue." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticRSolveValue.html.

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Wolfram 语言. (2019). AsymptoticRSolveValue. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticRSolveValue.html 年

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