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BellB[n]

给出贝尔数 TemplateBox[{n}, BellB].

BellB[n,x]

给出贝尔多项式 TemplateBox[{n, x}, BellB2].

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按以下格式引用：

BellB

BellB[n]

给出贝尔数 TemplateBox[{n}, BellB].

BellB[n,x]

给出贝尔多项式 TemplateBox[{n, x}, BellB2].

更多信息

  • 数学函数，适用于符号和数值运算.
  • 贝尔多项式满足生成函数关系 e^((e^t-1)x)=sum_(n=0)^(infty)(TemplateBox[{n, x}, BellB2]t^n)/(n!).
  • 贝尔函数由 TemplateBox[{n}, BellB]=TemplateBox[{n, 1}, BellB2] 给出.
  • 对于某些特殊自变量而言，BellB 自动计算精确值.
  • BellB 可以计算到任意数值精确度.
  • BellB 自动线性作用于列表.

背景

  • BellB 是一个返回贝尔数或多项式的数学函数. 尤其是，BellB[n,x] 返回第 个贝尔多项式 ，BellB[n] 返回第 个贝尔数 TemplateBox[{n}, BellB]=TemplateBox[{n, 1}, BellB2]. 贝尔多项式可以根据指数生成函数 确定. 贝尔数也满足递归关系 B_(n+1)=sum_(k=0)^nTemplateBox[{n, k}, Binomial]B_k. 前几个贝尔多项式 是 ，其中前几个贝尔数 是 .
  • 贝尔多项式也称之为指数多项式或更确切“完整指数贝尔多项式”，有时表示为 . 贝尔多项式是根据数学家和数学诠释者 Eric Temple Bell 命名的，他在 1934 年写的.
  • 多项式 的诠释是如果有 的 分区成 部分，那么 . 而且，如果有 的 个全部分区，那么 . 例如，假定 ，集合 有 个元素可以分成 个部分和 种形式 ； 个部分和 种形式 ()； 个部分和 种形式 (、 和 ) 以及 个部分和 种形式 (). 因为有 5 种形式分区 ，所以 .
  • 贝尔多项式和贝尔数是 BellY 函数的特殊形式，其中 TemplateBox[{n, x}, BellB2]=sum_(k=0)^nY_(n,k)(x,...,x) 且 . 让 TemplateBox[{n, k}, StirlingS2] 表示第二种的 Stirling 数，由 StirlingS2、B_n=B_n(1)=sum_(k=0)^nTemplateBox[{n, k}, StirlingS2] 返回.

范例

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基本范例  (2)

第十贝尔数：

Wolfram Language code: BellB[10]

第五贝尔多项式：

Wolfram Language code: BellB[5, x]

范围  (5)

数值计算：

Wolfram Language code: BellB[1000, 0.5]

输出精度与输入精度一致：

Wolfram Language code: BellB[1000, 0.500000000000000000000000]

BellB 按元素线性作用于列表：

Wolfram Language code: BellB[{1, 2, 3, 4, 5, 6}]

BellB 可用于幂级数：

Wolfram Language code: BellB[n, Sin[x] + O[x] ^ 3]

TraditionalForm 格式输出：

Wolfram Language code: BellB[n]//TraditionalForm
Wolfram Language code: BellB[n, x]//TraditionalForm

应用  (4)

BellB 数相对于其渐进：

Wolfram Language code: Show[ListPlot[Table[(Log[BellB[n]]/n), {n, 50}]], Plot[Log[n] + (Log[Log[n]] + 1) ((1/Log[n]) - 1) + (1/2) ((Log[Log[n]]/Log[n]))^2, {n, 5, 50}]]

计算前 10 个补余贝尔数：

Wolfram Language code: Table[BellB[n, -1], {n, 10}]

与第二类斯特灵数的表达式进行比较：

Wolfram Language code: Table[Underoverscript[∑, k = 0, n](-1)^kStirlingS2[n, k], {n, 10}]

在前几种情况下，用海森堡（Hessenberg）行列式验证贝尔数的表达式：

Wolfram Language code: Table[BellB[n + 1] == Det[SparseArray[{Band[{2, 1}] -> 1, Band[{1, 1}] -> 2, {j_, k_} /; j < k :> (-1)^j + kBinomial[k - 1, j - 1]}, {n, n}]], {n, 2, 9}]

贝尔数 BellB[n] 可描述为唯一的一组数字，使得由这些数字组成的两个特定汉克尔行列式都等于 BarnesG[n+2]. 对前几种情况进行验证：

Wolfram Language code: Table[BarnesG[n + 2] == Det[HankelMatrix[BellB[Range[0, n]], BellB[Range[n, 2n]]]] == Det[HankelMatrix[BellB[Range[n + 1]], BellB[Range[n + 1, 2n + 1]]]], {n, 9}]

属性和关系  (7)

BellB 的指数母函数：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[BellB[n], n, x]

与显式求和公式比较

Wolfram Language code: Sum[BellB[n]x^n / n!, {n, 0, Infinity}]

Sum 可以给出包含 BellB 的结果：

Wolfram Language code: Sum[k^n / k!, {k, 0, Infinity}, Assumptions -> n∈Integers && n ≥ 0]
Wolfram Language code: Sum[StirlingS2[n, k], {k, 0, n}]

PoissonDistribution 的 ^(th) 矩量由 ^(th) 贝尔多项式在它的均值 中给出：

Wolfram Language code: Moment[PoissonDistribution[μ], n]

用 FullSimplify 化简包含 BellB 的表达式：

Wolfram Language code: FullSimplify[Mod[BellB[k + p] + BellB[k] - BellB[k + 1], p], p ∈ Primes]

直接由集划分计算贝尔数 ：

Wolfram Language code: Table[Sum[(n!/Underoverscript[∏, k = 1, n]k!^Subscript[m, k]Subscript[m, k]!)Boole[Subsuperscript[∑, k = 0, n]k Subscript[m, k] == n∧Subsuperscript[∑, k = 1, n]Subscript[m, k] == Subscript[m, 0]], Evaluate[Array[{Subscript[m, #], 0, n}&, n + 1, 0, Sequence]]], {n, 1, 5}]

使用 IntegerPartitions 对满足指标约束的项直接求和：

Wolfram Language code: Table[Sum[(Multinomial@@p) / Product[k!, {k, Length /@ Split[p]}], {p, IntegerPartitions[n]}], {n, 10}]

与 BellB 的结果比较：

Wolfram Language code: Table[BellB[k], {k, 1, 10}]

利用广义贝尔多项式计算贝尔数：

Wolfram Language code: Table[BellY[ConstantArray[1, {n, 2}]], {n, 10}]
Wolfram Language code: Table[BellB[n], {n, 10}]

利用广义贝尔多项式计算贝尔多项式：

Wolfram Language code: Table[BellY[ConstantArray[{1, x}, n]], {n, 5}]
Wolfram Language code: Table[BellB[n, x], {n, 5}]

FindSequenceFunction 可以识别 BellB 序列：

Wolfram Language code: Table[BellB[n], {n, 10}]
Wolfram Language code: FindSequenceFunction[%, n]

可能存在的问题  (1)

BellB 的第一个自变量必须是一个非负值整数：

Wolfram Language code: BellB[1 / 2, x]

巧妙范例  (1)

Cesàro 的贝尔数积分表示：

Wolfram Language code: Im[Table[(2/π E)n! NIntegrate[E^E^E^I t Sin[n t], {t, 0, Pi}], {n, 10}]]
Wolfram Language code: BellB[Range[10]]
Wolfram Research (2007)，BellB，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BellB.html.

文本

Wolfram Research (2007)，BellB，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BellB.html.

CMS

Wolfram 语言. 2007. "BellB." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/BellB.html.

APA

Wolfram 语言. (2007). BellB. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/BellB.html 年

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BibLaTeX

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