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Catalan

カタラン(Catalan)定数で，その値はである．

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Catalan

Catalan

カタラン(Catalan)定数で，その値はである．

詳細

  • NumericQでは数値として，Dでは定数として扱われる数学定数である．
  • CatalanはNを使って任意の数値精度で評価できる．
  • カタラン定数は，総和で与えられる．

予備知識

  • Catalanは，カタラン定数として知られる数学定数を表すシンボルである．Catalanは奇整数の平方の逆数の無限交代和として定義され，数値を持つ．Catalanは，組合せ関数の推定，ある種の総和クラス，定積分でよく見られる．Catalanは，また，DirichletBeta，Zeta，PolyLog等の特殊関数の特定の値にも見ることができる．
  • Catalanがシンボルとして用いられる場合は，厳密な数量として伝播される．Catalanを含む複雑な式の展開と簡約には，FunctionExpand，FullSimplify等の関数が必要なことがある．
  • Catalanが有理数（整数の比として表すことができる）かどうか，代数的数（整数多項式の根である）かどうか，あるいは任意の底における正規数（底 の展開における各桁の数字が一様に分布している）かどうかは現在のところ不明である．
  • Catalanは，Nを使って急速に収束するZeilberger型の総和によって任意の数値精度に評価することができる．事実，最新のデスクトップコンピュータを使ったCatalanの小数点以下の最初の十万桁の計算には，1秒の数分の一しかかからない．RealDigitsを使ってCatalanの各桁の数字のリストを，ContinuedFractionを使ってその連分数展開の項を得ることができる．

例題

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例  (2)

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[Catalan, 50]

定義和の値として返す：

Wolfram Language code: Sum[((-1)^k/(2k + 1)^2), {k, 0, ∞}]

スコープ  (2)

厳密な数値計算で使用する：

Wolfram Language code: Round[1 / Catalan ^ 100]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: Catalan//TraditionalForm

アプリケーション  (3)

底10でのCatalanの最初の20桁：

Wolfram Language code: RealDigits[Catalan, 10, 20]

底10でのCatalanの最初の1000桁の後の20桁：

Wolfram Language code: RealDigits[Catalan, 10, 20, -1001]

Catalanの連分数の最初の20項：

Wolfram Language code: ContinuedFraction[Catalan, 20]

互いに素であるガウス整数の頻度：

Wolfram Language code: Mean[Flatten[Table[Boole[CoprimeQ[a + I b, c + I d]], {a, -10, 10}, {b, -10, 10}, {c, -10, 10}, {d, -10, 10}]]]//N

厳密な漸近的結果と比較する：

Wolfram Language code: 6 / (Pi ^ 2 Catalan)//N

特性と関係  (2)

さまざまな記号的関係が自動的に使われる：

Wolfram Language code: Catalan < 1

多くの数学関数と操作がCatalanを含む結果を与える：

Wolfram Language code: {LerchPhi[-1, 2, 1 / 2], Zeta[2, 1 / 4] - Zeta[2, 3 / 4], HypergeometricPFQ[{1 / 2, 1 / 2, 1}, {3 / 2, 3 / 2}, -1]}
Wolfram Language code: {Underoverscript[∑, k = 0, ∞]((-1)^k/(2 k + 1)^2), Underoverscript[∑, k = 0, ∞](4^k k!^2/(2 k)! (2 k + 1)^2), Underoverscript[∑, k = 1, ∞]((3^k - 1) (k + 1) Zeta[k + 2]/4^k)}
Wolfram Language code: { Subsuperscript[∫, 0, (π/4)]Log[Tan[t]]ⅆt, Subsuperscript[∫, 0, (π/2)](t/Sin[t])ⅆt, Subsuperscript[∫, 0, ∞](E^t / 2 t/E^t + 1)ⅆt}

考えられる問題  (1)

Catalanが代数的数であるか否かは現在のところ不明である：

Wolfram Language code: Element[Catalan, Algebraics]

おもしろい例題  (3)

Catalanの二進数に対応するランダムウォークをプロットする：

Wolfram Language code: ListLinePlot[Accumulate[(-1) ^ First[RealDigits[Catalan, 2, 200]]]]

連分数中の項：

Wolfram Language code: ListLinePlot[ContinuedFraction[Catalan, 400], PlotRange -> All]

Catalanを含むWeyl型の総和：

Wolfram Language code: ListLinePlot[{Re[#], Im[#]}& /@ Accumulate[Exp[I 10. ^ 4Table[Catalan Sqrt[k], {k, 1, 20000}]]]]
Wolfram Research (1988), Catalan, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html.

テキスト

Wolfram Research (1988), Catalan, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html.

CMS

Wolfram Language. 1988. "Catalan." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html.

APA

Wolfram Language. (1988). Catalan. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html

BibTeX

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BibLaTeX

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