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Catalan

是 Catalan 常数，数值 .

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按以下格式引用：

Catalan

Catalan

是 Catalan 常数，数值 .

更多信息

  • 数学常数，被 NumericQ 作为数值来处理，而被 D 作为常数来处理.
  • Catalan 利用 N 可以被计算到任意的数值精度.
  • Catalan 常数由和式 给出.

背景

  • Catalan 是表示被称为卡塔兰常数的数学常数的符号. Catalan 被定义为奇数平方倒数的无穷交错求和 ，它的数值 . Catalan 通常出现在组合函数估计以及某些类别的求和与定积分中. Catalan 也出现在像 DirichletBeta、Zeta 和 PolyLog 这样的特殊函数的特定值中.
  • 当 Catalan 作为符号使用时，它被当作精确值散播. 展开和化简包含 Catalan 的复杂表达式可能需要使用像 FunctionExpand 和 FullSimplify 这样的函数.
  • 现在还不知道 Catalan 是否是有理数（意味着它可被表示为两个整数之比），是否是代数数（意味着它是整系数多项式的根），是否是某些底的正规数（意味着以 为底的记数法下的各位数字是均匀分布的）.
  • Catalan 可以用 N 通过快速收敛的 Zeilberger 型求和算法求值到任意数值精度. 事实上，计算 Catalan 的前十万位小数在现代桌面计算机上耗时还不到一秒. RealDigits 可被用于返回 Catalan 各位数字的列表而 ContinuedFraction 可被用于取得其连分数展开的各项.

范例

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基本范例  (2)

计算至高精度：

Wolfram Language code: N[Catalan, 50]

作为定义和式的值返回：

Wolfram Language code: Sum[((-1)^k/(2k + 1)^2), {k, 0, ∞}]

范围  (2)

用于精确的数值计算：

Wolfram Language code: Round[1 / Catalan ^ 100]

TraditionalForm 格式化：

Wolfram Language code: Catalan//TraditionalForm

应用  (3)

按十进制给出 Catalan 的前 20 位数字：

Wolfram Language code: RealDigits[Catalan, 10, 20]

按十进制给出 Catalan 的 1000 位以后的 20 位数字：

Wolfram Language code: RealDigits[Catalan, 10, 20, -1001]

Catalan 的连分数的前 20 项：

Wolfram Language code: ContinuedFraction[Catalan, 20]

互素的高斯整数的出现频率：

Wolfram Language code: Mean[Flatten[Table[Boole[CoprimeQ[a + I b, c + I d]], {a, -10, 10}, {b, -10, 10}, {c, -10, 10}, {d, -10, 10}]]]//N

同精确的渐近结果相比较：

Wolfram Language code: 6 / (Pi ^ 2 Catalan)//N

属性和关系  (2)

各种符号关系被自动地利用：

Wolfram Language code: Catalan < 1

很多数学函数和运算给出包含 Catalan 的结果：

Wolfram Language code: {LerchPhi[-1, 2, 1 / 2], Zeta[2, 1 / 4] - Zeta[2, 3 / 4], HypergeometricPFQ[{1 / 2, 1 / 2, 1}, {3 / 2, 3 / 2}, -1]}
Wolfram Language code: {Underoverscript[∑, k = 0, ∞]((-1)^k/(2 k + 1)^2), Underoverscript[∑, k = 0, ∞](4^k k!^2/(2 k)! (2 k + 1)^2), Underoverscript[∑, k = 1, ∞]((3^k - 1) (k + 1) Zeta[k + 2]/4^k)}
Wolfram Language code: { Subsuperscript[∫, 0, (π/4)]Log[Tan[t]]ⅆt, Subsuperscript[∫, 0, (π/2)](t/Sin[t])ⅆt, Subsuperscript[∫, 0, ∞](E^t / 2 t/E^t + 1)ⅆt}

可能存在的问题  (1)

目前还不知道 Catalan 是否一个代数数：

Wolfram Language code: Element[Catalan, Algebraics]

巧妙范例  (3)

绘制一个对应于 Catalan 的二进制数字的随机游动：

Wolfram Language code: ListLinePlot[Accumulate[(-1) ^ First[RealDigits[Catalan, 2, 200]]]]

连分数中的项：

Wolfram Language code: ListLinePlot[ContinuedFraction[Catalan, 400], PlotRange -> All]

包含 Catalan 的 Weyl‐型和：

Wolfram Language code: ListLinePlot[{Re[#], Im[#]}& /@ Accumulate[Exp[I 10. ^ 4Table[Catalan Sqrt[k], {k, 1, 20000}]]]]
Wolfram Research (1988)，Catalan，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html.

文本

Wolfram Research (1988)，Catalan，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Catalan." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html.

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Wolfram 语言. (1988). Catalan. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Catalan.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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