CholeskyDecomposition

CholeskyDecomposition[m]

给出矩阵 m 的 Cholesky 分解.

更多信息和选项

范例

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基本范例  (2)

计算 2×2 实矩阵的乔里斯基分解：

验证该分解：

原始矩阵是正定矩阵：

计算 3×3 复埃尔米特矩阵的乔里斯基分解：

结果是上三角矩阵：

范围  (11)

基础用法  (7)

求机器精度矩阵的乔里斯基分解：

验证结果：

复矩阵的乔里斯基分解：

CholeskyDecomposition 将检验输入是否并非埃尔米特和正定矩阵：

矩阵 m 为正定矩阵但并非埃尔米特矩阵：

将 CholeskyDecomposition 用于精确矩阵：

验证结果：

任意精度矩阵的乔里斯基分解：

将 CholeskyDecomposition 用于符号矩阵：

在验证结果时，需要条件来确保矩阵是正定矩阵：

这可以理解为确保所有特征值都是正值：

高效计算大型数值矩阵的乔里斯基分解：

实对称正定 CenteredInterval 矩阵的 Cholesky 分解：

特殊矩阵  (4)

求稀疏矩阵的乔里斯基分解：

验证该分解：

结构化矩阵的乔里斯基分解：

用于 QuantityArray 结构化矩阵：

单位矩阵的乔里斯基分解是单位矩阵：

HilbertMatrix 的乔里斯基分解：

选项  (1)

TargetStructure  (1)

设置 TargetStructure->"Dense"，结果会以稠密矩阵的形式给出：

设置 TargetStructure->"Structured"，结果会以 UpperTriangularMatrix 的形式给出：

应用  (2)

三角线性方程组是一个线性方程组，其中第一个方程有一个变量，而随后的每个方程正好引入一个附加变量. 将以下三变量方程组改写为两个六变量三角线性方程组：

以矩阵形式 重写方程组并计算 的乔里斯基分解：

原始方程组可以重新排序为 ：

引入新变量 并设置 ; 结果是 中的三角方程组：

将 代入 得到 TemplateBox[{u}, ConjugateTranspose].v=b， 中的一个三角方程组：

六个三角方程一起给出了与原始方程组相同的 的结果：

乔里斯基分解可用于从许多独立随机值创建具有指定协方差的随机样本，例如蒙特卡罗模拟. 从所需的协方差矩阵开始，计算下三角矩阵 l=TemplateBox[{u}, ConjugateTranspose]，其中 是乔里斯基分解：

生成一百万个独立样本并将每个样本乘以 ：

样本的协方差与期望的协方差一致，精确到小数点后三位：

属性和关系  (6)

乔里斯基分解要求输入矩阵是埃尔米特和正定矩阵：

计算该分解：

验证 ConjugateTranspose[u].u == m:

CholeskyDecomposition[m] 是上三角和正定矩阵：

乔里斯基分解与矩阵平方根不同：

乔里斯基分解是上三角矩阵，而平方根是埃尔米特矩阵：

然而，两个矩阵都是正定的，并且具有相同的行列式：

对于实数矩阵 ，TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].m 的乔里斯基分解与 的 QR 分解直到符号都一致：

求 Transpose[m].m 的乔里斯基分解：

计算 QRDecomposition[m]:

除了对每行符号的选择不同之外， 与 一致：

对于任何矩阵 ，TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].m 的乔里斯基分解与 的 QR 分解一致：

求 ConjugateTranspose[m].m 的 Cholesky 分解：

计算 QRDecomposition[m]:

除了对每行符号的选择不同之外， 与 一致：

CholeskyDecomposition 是一种 LU 分解：

这通常是一个与 LUDecomposition 给出的分解不同的分解：

可能存在的问题  (2)

矩阵必须为充分正定，以避免数字舍入：

最小特征值在机器精度下相当于 0：

当精度足够高时，可以计算分解：

s 是一个稀疏三对角线矩阵：

即便结果为稀疏的，还是将 Cholesky 分解作为稠密矩阵计算：

用 LinearSolve 将得到一个有着稀疏 Cholesky 因式分解的 LinearSolveFunction：

Wolfram Research (2003)，CholeskyDecomposition，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html （更新于 2024 年）.

文本

Wolfram Research (2003)，CholeskyDecomposition，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html （更新于 2024 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2003. "CholeskyDecomposition." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html.

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Wolfram 语言. (2003). CholeskyDecomposition. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html 年

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