ContinuousMarkovProcess

ContinuousMarkovProcess[i0,q]

表示连续时间有限状态的马尔可夫过程，其中转移率矩阵为 q，初始状态为 i0.

ContinuousMarkovProcess[p0,q]

表示初始状态概率向量为 p0 的马尔可夫过程.

ContinuousMarkovProcess[…,m,μ]

表示转移矩阵为 m、转移率为 μ 的马尔可夫过程.

ContinuousMarkovProcess[…,g]

表示图 g 的马尔可夫过程转移率矩阵.

更多信息

  • ContinuousMarkovProcess 也被称为连续时间马尔可夫链.
  • ContinuousMarkovProcess 是连续时间离散状态的随机过程.
  • ContinuousMarkovProcess 的状态是位于1和 之间的整数，其中 是转移率矩阵 q 的长度.
  • 对于无限小的时间 dt，q〚i,j〛dt 给出过程转移在下一个 dt 时间单位从状态 i 到 j 的概率q〚i,j〛dtProbability[x[t+dt]jx[t]i].
  • 过程转移前在状态 i 停留的时间服从 ExponentialDistribution[-qii].
  • 转移矩阵 m 指定条件转移概率 m〚i,j〛Probability[x[tk+1]jx[tk]i]，其中 x[tk] 是在时刻 tk 的状态，转移率 μi 指定在状态 i 的时间之间的时间服从ExponentialDistribution[μi].
  • EstimatedProcess[data,ContinuousMarkovProcess[n]] 表明具有 n 个状态的过程应该被估计.
  • 在图 g 的情况下，构建具有单位转移率的转移矩阵，以给出转移至各事件顶点相等概率.
  • ContinuousMarkovProcess 允许 q 为 × 矩阵，其中对于 i!=j ，有 q_(ii)<=0，q_(ij)>=0，且各行之和为0，i0 可以是位于1 到 之间的整数，p0 为长为 的向量，元素为非负数且和为1，m 是一个元素为非负数、各行之和为1的 × 矩阵，μ 是一个由正数元素组成的长为 的向量.
  • ContinuousMarkovProcess 可以与诸如 MarkovProcessProperties、PDF、Probability 和 RandomFunction 等函数一起使用.

背景

范例

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基本范例  (2)

定义一个连续时间马尔可夫过程：

模拟这个过程：

求时刻 t 的状态下概率密度函数：

求过程在状态2的长期运行时间比例：

范围  (12)

过程性质：

用图的形式对过程进行可视化，其中转移率作为工具提示条给出：

将图表示转换回连续马尔可夫过程：

求一个连续马尔可夫过程的常返类和瞬态类：

生成具有默认机器精度的样本路径：

生成具有更高精度的样本路径：

可视化样本路径：

从样本数据估计过程参数：

切片分布：

求吸收时间的分布：

分布的均值：

与过程仿真得到的值进行比较：

特征函数：

计算事件的概率：

求稳态分布：

对稳态分布进行操作：

求从状态1开始到状态4结束的全部转移的条件平均数：

与仿真结果进行比较：

求从状态2到状态3的转移的条件平均数：

与仿真结果进行比较：

计算概率：

矩和母函数：

推广和延伸  (2)

用图表示连续马尔可夫过程：

将图转换成连续马尔可夫过程：

使用离散的马尔可夫过程图建立一个相应的连续马尔可夫过程：

应用  (9)

人们每年从波士顿移居到剑桥的速度被估计为每年六人：

求在两个月的时间内移居的人的百分比：

一家医院拥有两个相同且独立的发电机. 每个发电机的无故障运行时间服从参数为 的指数分布，故障发电机的维修时间服从参数为 的指数分布. 假设两个发电机在 正常运行，求两个发电机在时刻 仍正常运行的概率. 正常运行的发电机个数可以用连续马尔可夫链模拟，其中状态数表示1加上正常运行的发电机个数：

一种易燃品被存储在填充站的特殊储罐中. 需要这种产品的客户的到达服从速率为 的泊松过程. 每个客户需要一个单位的该产品. 发生缺货的任何需求都将丢失. 重新补充库存的机会服从参数为 的泊松过程. 假定这两个泊松过程是相互独立的. 为安全起见，只能当储罐全空时补充库存. 在这些机会发生时，补充库存 个单位：

长期来看，储罐的平均库存：

长期来看，需求丢失的比例：

一个路由器接收来自一组用户的数据包，并将它们通过一条单一传输线传输. 假设数据包的到达是根据速率为每4毫秒一个数据包的泊松过程，数据包的传输时间为均值为3毫秒的指数分布. 求一个无限路由器的容量近似：

平均延迟：

有多于5个数据包等待路由器传输的概率：

在一个抛光镜面表面出现缺陷的数目是一个泊松随机变量. 对于面积为 的一面镜子，没有缺陷的概率是0.91. 求面积为 、使用相同工艺制造的另一面镜子表面没有任何瑕疵的概率：

车抵达换油中心的模式服从泊松过程，抵达率为4辆/小时. 只有一名可用机械师，换油所花费的时间服从指数分布，平均需要12分钟. 近似​​无限的汽车空间：

模拟队列中的汽车数：

有多于三辆汽车在排队的概率：

系统中汽车数目的均值和方差：

系统中汽车数目的分布：

在某一个国家，车辆每年都需要进行评估，以鉴定是否适宜在道路上行驶. 在一个车辆评估中心，司机平均需要等候15分钟，才能开始对他们的车辆是否适宜在道路上行驶进行评估. 评估需要平均20分钟就可以完成. 在评估结束之后，80％的汽车可以通过评估，允许司机把车开回家. 另外15％的车辆被归类为“轻度失败”，这些车需要平均30分钟的维修，然后司机可以把车开回家. 其余5％的车辆被归类为“重大失败”，需要对这些车辆进行平均3个小时的维修，然后才能把车开回家. 使用连续时间马尔可夫模型对车辆评估中心的运作进行建模，其中状态 W（等待评估），A（评估进行），M（轻度维修），S（重度维修）和 H（回家）：

转移率：

将对角线元素设置为非对角线元素的总和的相反数，使各行总和为零：

模拟评估和维修的过程：

车辆在时刻 进行重度维修的概率：

车辆评估和维修所花的平均时间（以分钟计）：

考虑一个指数型时间间隔和服务时间的系统. 为两个客户提供一台服务器和房间：一个正在服务期间，另一个正在等待. 令在时刻 ，房间中的客户数目为 . 这是一个M/M/1/2的队列模型；将它作为一个生死过程，用以下的转换率矩阵进行建模，其中状态编号为 ：

转移率矩阵式是不可约的：

因此，稳态分布是唯一存在的：

这与 QueueingProcess 的稳态分布相一致：

这是一个被截断的几何分布：

服务器忙碌时间的比例：

这与 QueueProperties 的结果一致：

从长远来看在房间内客户的平均数量：

队列的平均大小：

从长远来看潜在客户进入房间的比例：

平均等候时间：

如果服务器的工作速度是现在的两倍，客户数量的增加：

哈勃太空望远镜携带6个陀螺仪，要求至少有三个以达到完全准确度. 陀螺仪的运行时间是独立的指数分布，故障率为 . 如果第四个陀螺仪出现故障，望远镜将进入睡眠模式，在这种模式下将暂停进一步观察. 它需要一个均值为 1/ 的指数时间分布以进入睡眠模式. 在此之后，在地球上的基地台接收睡眠信号，将准备执行航天飞机飞行任务. 维修人员到达望远镜，并维修陀螺仪稳定的稳定单元，需要一个均值为1/ 的指数时间. 同时，其他两个陀螺仪可能会出现故障. 如果最后一个陀螺仪出现故障，该望远镜将崩溃. 假设 ，，以及 ，并全部以年的倒数为单位：

可视化此过程，用整数表示正常运行的陀螺仪的数目：

该望远镜将在未来10年内崩溃的概率：

在10年没有达到睡眠模式（不需要执行航天飞机任务）的概率：

属性和关系  (1)

利用转移率矩阵定义一个连续马尔可夫过程：

获取转移率向量：

嵌入式离散马尔可夫过程的转移矩阵：

用 m 和 μ 恢复原始的马尔可夫过程：

可能存在的问题  (2)

如果转移矩阵行的总和不等于零，则对矩阵对角线作相应调整：

如果初始概率之和不等于1，则对其进行归一化：

Wolfram Research (2012)，ContinuousMarkovProcess，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ContinuousMarkovProcess.html （更新于 2014 年）.

文本

Wolfram Research (2012)，ContinuousMarkovProcess，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ContinuousMarkovProcess.html （更新于 2014 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2012. "ContinuousMarkovProcess." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2014. https://reference.wolfram.com/language/ref/ContinuousMarkovProcess.html.

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Wolfram 语言. (2012). ContinuousMarkovProcess. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ContinuousMarkovProcess.html 年

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