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CoreNilpotentDecomposition

CoreNilpotentDecomposition[m]

正方行列 m のコアベキ零分解を与える．

CoreNilpotentDecomposition[m,format]

指定の format に従ってコアベキ零分解を返す．

詳細とオプション

CoreNilpotentDecomposition[m]は行列のリスト{t,c,n}を返す．ただし，コア行列 c は非特異行列で行列 n はベキ零行列である． »
行列 m はそのコアベキ零分解とによって関係している．
ベキ零行列 n について，MatrixPower[n,p]が零行列となるような非負の整数（行列 m の指標）が存在する．
行列のコアベキ零分解を使って，定数係数を持つ線形微分代数（あるいは差分代数）方程式の系を解くことができる．
コア部分またはベキ零部分が自明のときは，自明の部分に対して空リスト{}が返される． »
CoreNilpotentDecomposition[m]はCoreNilpotentDecomposition[m,"SplitBlocks"]に等しい．
CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"]は行列{t,d}のリストを返す．ただし，である．
TargetStructure->"Dense"の設定のとき，CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"]は行列のリスト{t,d}を返す．ただし，である．
TargetStructure->"Structured"の設定のとき，リスト{t,d}の行列はBlockDiagonalMatrixとして表される．

例題

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例 (2)

正方行列のコアベキ零分解を計算する：

結果をフォーマットする：

4×4行列のコアベキ零分解：

m との関係を検証する：

スコープ (12)

基本的な用法 (7)

機械精度行列のコアベキ零分解：

複素行列のコアベキ零分解：

厳密行列のコアベキ零分解：

任意精度行列のコアベキ零分解：

記号行列のコアベキ零分解：

大きい機械精度行列の分解は効率的に行われる：

CoreNilpotentDecomposition[m]はCoreNilpotentDecomposition[m,"SplitBlocks"]に等しい．ただし，コア部分とベキ零部分は分離されている：

CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"]は，ブロック対角行列中にコア部分とベキ零部分をまとめる：

特殊行列 (5)

疎な行列のコアベキ零分解：

構造化行列のコアベキ零分解：

恒等行列は自明なコアベキ零分解を持つ：

ヒルベルト(Hilbert)行列のコアベキ零分解：

厳密な上三角行列のコアベキ零分解：

オプション (1)

TargetStructure (1)

TargetStructure->"Dense"のとき，CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"]は2つの行列のリストを返す：

2番目の行列は，コア部分とベキ零部分からなるブロック対角行列である：

TargetStructure->"Structured"のとき，2番目の行列はBlockDiagonalMatrixとして表される：

アプリケーション (2)

特異係数を持つ行列微分方程式 , を解く：

とはどちらも特異なので，この方程式は標準形にすることはできない：

の解のコアベキ零分解を計算する：

とする：

そうすると，解はになる．ただし，はの解である：

DSolveValueの結果と比較する：

特異係数行列を持つ行列微分方程式の一般解を求める：

行列は特異行列である：

コアベキ零分解を使ってt とする：

解はである．ただし，は任意のベクトルである：

解を確認する：

特性と関係 (4)

CoreNilpotentDecompositionはトリプル{t,c,n}を返す：

行列 c は非特異である：

行列 n はベキ零である：

もとの行列 m はそのコアベキ零分解によって表すことができる：

可逆行列の分解のコア部分はその行列に等しい：

分解のベキ零部分は空リストである：

相似行列 t は恒等行列であるとみなされる：

それにもかかわらず，BlockDiagonalMatrixを使って表された恒等式は成立する：

ベキ零行列の分解のベキ零部分はその行列に等しい：

分解のコア部分は空リストである：

相似行列 t は恒等行列であるとみなされる：

それにもかかわらず，BlockDiagonalMatrixを使って表された恒等式は成立する：

DrazinInverseはCoreNilpotentDecompositionで計算できる：

等式 $m^D=t.(TemplateBox[{c}, Inverse] 0; 0 0).TemplateBox[{t}, Inverse]$ を確認する：

考えられる問題 (2)

コアベキ零分解は一意的ではない：

またはは{}でもよいが，両方がそうであってはならない：

MatrixQ[{}]はFalseを与える：

BlockDiagonalMatrixは{}を0×0行列と解釈するので，この関数を使ってもとの行列を再構築する：

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