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CoreNilpotentDecomposition

CoreNilpotentDecomposition[m]

生成方阵 m 的核-幂零分解.

CoreNilpotentDecomposition[m,format]

根据指定 format 返回核心-零分解.

更多信息和选项

CoreNilpotentDecomposition[m] 返回矩阵列表 {t,c,n}，其中核心矩阵 c 是非奇异矩阵，矩阵 n 是幂零矩阵. »
矩阵 m 与其核-幂零分解的关系是 .
对于幂零矩阵 n，存在一个非负整数 (矩阵 m 的索引) 使得 MatrixPower[n,p] 为零矩阵.
矩阵的核-幂零分解可用于求解具有常系数的线性微分代数（或差分代数）方程组.
如果核心或幂零部分可忽略不计，则为该忽略不计的部分返回一个空列表 {}. »
CoreNilpotentDecomposition[m] 等价于 CoreNilpotentDecomposition[m,"SplitBlocks"].
CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"] 返回矩阵列表 {t,d} 其中 .
设置 TargetStructure->"Dense"，则 CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"] 返回矩阵列表 {t,d} 其中 .
设置 TargetStructure->"Structured"，列表 {t,d} 中的矩阵以 BlockDiagonalMatrix 的形式表示.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

计算方阵的核-幂零分解：

格式化结果：

4×4 矩阵的核-幂零分解：

验证与 m 的关系：

范围 (12)

基本用法 (7)

机器精度矩阵的核-幂零分解：

复矩阵的核-幂零分解：

精确矩阵的核-幂零分解：

任意精度矩阵的核-幂零分解：

符号矩阵的核-幂零分解：

有效进行大型机器精度矩阵的分解：

CoreNilpotentDecomposition[m] 等价于 CoreNilpotentDecomposition[m,"SplitBlocks"]，其中核心部分和幂零部分保持分开：

CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"] 将核心部分和幂零部分合并为一个块对角矩阵：

特殊矩阵 (5)

稀疏矩阵的核-幂零分解：

结构化矩阵的核-幂零分解：

单位矩阵有一个平凡的核幂零分解：

希尔伯特矩阵的核-幂零分解：

严格的上三角矩阵的核幂零分解：

选项 (1)

TargetStructure (1)

设置 TargetStructure->"Dense"，CoreNilpotentDecomposition[m,"BlockDiagonal"] 返回两个矩阵的列表：

第二个矩阵是一个由核心部分和幂零部分组成的块对角矩阵：

设置 TargetStructure->"Structured"，第二个矩阵会以 BlockDiagonalMatrix 的形式表示：

应用 (2)

用奇异系数求解矩阵微分方程 , ：

和都为奇异，所以方程不能写成标准形式：

计算的解的核幂零分解：

假使：

则解为，其中为的解：

对比 DSolveValue 给出的结果：

求矩阵差分方程与奇异系数矩阵的通解：

矩阵为奇异矩阵：

使用核-幂零分解，假使：

解为，其中为任意向量：

验证该解：

属性和关系 (4)

CoreNilpotentDecomposition 返回三元组 {t,c,n}：

矩阵 c 是非奇异的：

矩阵 n 是幂零的：

原始矩阵 m 可以用其核-幂零分解表示：

可逆矩阵分解的核心部分等于矩阵：

分解的幂零部分是一个空矩阵：

相似性矩阵 t 被视为单位矩阵：

尽管如此，使用 BlockDiagonalMatrix 表示的恒等式仍然成立：

幂零矩阵分解的幂零部分等于矩阵：

分解的核心部分是一个空列表：

相似性矩阵 t 被视为单位矩阵：

尽管如此，使用 BlockDiagonalMatrix 表达的恒等式仍然成立：

可用 CoreNilpotentDecomposition 进行计算 DrazinInverse：

验证相等 $m^D=t.(TemplateBox[{c}, Inverse] 0; 0 0).TemplateBox[{t}, Inverse]$ ：

可能存在的问题 (2)

核-幂零分解不是唯一的：

或都可能等于 {}，但不会两个都等于 {}：

MatrixQ[{}] 给出 False：

用 BlockDiagonalMatrix 重新构建原始矩阵，因为它将 {} 解释为 0×0 的矩阵：

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