验证 2×2 数值矩阵是否可对角化：

验证 3×3 符号矩阵是否可对角化：

将矩阵的特征向量放在列中：

验证矩阵类似于对角矩阵：

如果矩阵 是可对角化的，则可将其分解为 ，其中 是非奇异矩阵， 是对角矩阵. 这可以通过使用其幂级数表示 作为 来计算矩阵函数，并且可以通过简单地将 应用于每个对角线元素来计算 . 使用此方法计算几个不同的矩阵函数：

计算 的特征系统：

矩阵将特征向量作为列，对角线项是特征值：

使用 MatrixPower 计算 并进行验证：

使用 MatrixExp 计算 并进行验证：

使用 MatrixLog 计算 并进行验证：

使用 MatrixFunction 计算 并进行验证：

求解 ODE 方程组 ，，. 首先，构造右侧的系数矩阵 ：

系数矩阵是可对角化的，因此计算矩阵指数很简单：

求特征值和特征向量：

构造一个对角矩阵，其项是 的指数：

构造其列是对应特征向量的矩阵：

对于三个任意起始值，其通解为 ：

使用 DSolveValue 验证解：

使用 Fibonacci 的递归关系 可写成 这样的矩阵形式这一事实，推导出 的公式. 递归关系的解为 ，其中 ：

矩阵 为可对角化矩阵：

因此，可使用 Eigensystem[m] 简单计算矩阵幂：

完成 的定义：

计算 和 ：

使用 Fibonacci 验证结果：

正规矩阵是最通用的矩阵类型，可以酉对角化为 ，其中 为对角矩阵和 为酉矩阵. 所有埃尔米特矩阵 都是正规矩阵，因为等式的两边都是简单的 ：

类似地，所有反埃尔米特矩阵都是正规矩阵，因为等式的两边都是简单的 ：

酉矩阵是正规矩阵，因为在定义中代入 给出了两边的单位矩阵：

证明下面的矩阵是正规矩阵，并对其进行对角化：

使用 NormalMatrixQ 进行验证：

使用 Eigensystem 可将像 这样的正规矩阵进行酉对角化：

对角线上的项可以是任意复数：

对特征向量进行正规化并将其放在列中会得到一个酉矩阵：

确认对角化 ：

跳过特征向量的正规化足以表明 是可对角化矩阵（尽管非酉）：

在量子力学中，能量算子称为哈密顿量 ，具有能量 的状态根据薛定谔方程 演化. 有一个重要的假设是任何状态都可以写成特征态的总和. 证明这是 方向恒定磁场中自旋 1 粒子的哈密顿量的情况：

矩阵是可对角化矩阵，因此其特征向量必须构成 的基：

计算本征系统，能级为 和 ：

确认特征向量为线性独立，因此是一个基：

正规化特征向量：

将任意状态分解为特征向量的和：

许多矩阵分布产生确保可对角化的矩阵，包括 CircularRealMatrixDistribution：

CircularSymplecticMatrixDistribution：

GaussianOrthogonalMatrixDistribution：

GaussianUnitaryMatrixDistribution：

可对角化矩阵 可以使用 Eigensystem 分解为 ，其中 为对角矩阵：

将特征向量放在列中，将特征值放在矩阵的对角线上：

确认该分解：

当且仅当矩阵具有一组完整的特征向量时该矩阵是可对角化矩阵：

虽然其有重复特征值，但 有三个线性独立的特征向量：

尽管具有与 相同的特征值，但矩阵 不可对角化：

该矩阵只有两个独立的特征向量，如 Eigensystem 返回的零向量所示：

任何没有重复特征值的矩阵都是可对角化矩阵：

任何实对称矩阵都是可对角化矩阵：

与任何埃尔米特矩阵一样：

任何实反对称矩阵都是可对角化矩阵：

与任何反埃尔米特矩阵一样：

任何实正交矩阵都是可对角化矩阵：

与任何酉矩阵一样：

任何正规矩阵都是可对角化的：

当且仅当 JordanDecomposition[m] 的 矩阵是对角矩阵时，矩阵 m 是可对角化矩阵：

如果对于某些 ，有 ，则 × 矩阵 是幂零的：

考虑一个不可对角化的矩阵 ：

使用 JordanDecomposition 将 写为 ，其中 可对角化且 幂零：

确认 是可对角化矩阵：

矩阵 是幂零的：

此外， 和 可交换：