LerchPhi

LerchPhi[z,s,a]

レルヒ(Lerch)の超越関数を与える．

詳細とオプション

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
$TemplateBox[{z, s, a}, LerchPhi]=sum_(k=0)^(infty)z^k/(k+a)^s$
のときの定義は， $TemplateBox[{z, s, a}, LerchPhi]=sum_(k=0)^(infty)z^k((k+a)^2)^(-s/2)$ ．ただし，の項は除外するものとする．
LerchPhi[z,s,a,DoublyInfinite->True]は総和を与える．
LerchPhiは，ZetaやPolyLogの一般化されたものである．
特別な引数の場合，LerchPhiは，自動的に厳密値を計算する．
LerchPhiは任意の数値精度で評価できる．
LerchPhiは自動的にリストに縫い込まれる．
LerchPhiは，IntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (7)

数値的に評価する：

簡単な厳密値は自動的に生成される：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ (29)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のLerchPhi関数を計算することもできる：

特定の値 (7)

簡単な厳密値は自動的に生成される：

記号的な a についてのLerchPhi[z,s,a]：

記号的な z についてのLerchPhi[z,s,a]：

記号的な s についてのLerchPhi[z,s,a]：

簡単な厳密値は自動的に生成される：

ゼロにおける値：

LerchPhi[z,1,0]=1.05となるような z の値を求める：

可視化 (2)

LerchPhi関数をプロットする：

LerchPhi関数の実部をプロットする：

LerchPhi関数の虚部をプロットする：

関数の特性 (11)

LerchPhiの実領域：

複素領域：

の値域を近似する：

LerchPhiは要素単位でリストと行列に縫い込まれる：

は解析関数ではない：

有理型でもない：

は非減少でも非増加でもない：

は単射である：

は全射ではない：

は非負でも非正でもない：

は，またはのとき，特異点と不連続点の両方を持つ：

は凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分 (2)

z についての一次導関数：

a についての一次導関数：

z についての高次導関数：

s=2で a=1/3のとき，z についての高次導関数をプロットする：

級数展開 (1)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

一般化と拡張 (2)

特別な点における級数展開：

LerchPhiはベキ級数に適用できる：

オプション (4)

DoublyInfinite (3)

デフォルトで，LerchPhiは正のを持つ項のみを含む：

対称的なケースでは，DoublyInfinite->Trueと設定しても結果が2倍になるだけである：

より一般的なケースでは，負の項はより複雑な効果を与える：

IncludeSingularTerm (1)

負の整数 a について，IncludeSingularTerm->Trueは無限の結果を与える：

アプリケーション (2)

LerchPhiがゼロになる場合を求める：

幾何確率分布の中心モーメント：

小さい k についての明示的な形：

特性と関係 (2)

和からLerchPhiを求める：

LerchPhiは数値関数である：

考えられる問題 (4)

$MaxExtraPrecisionの設定値を大きくすることが必要となる場合がある：

特異項が含まれる場合，LerchPhiは数値比較を用いる：

z=a=1のとき， LerchPhiは記号的な s についてのZetaに関して常に評価できる訳ではない：

HurwitzLerchPhiは分枝切断線の選び方がLerchPhiとは異なる：

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考えられる問題 (4)

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