NIntegrate

NIntegrate[f,{x,xmin,xmax}]

给出积分的 的数值近似.

NIntegrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},…]

给出多重积分 的数值近似.

NIntegrate[f,{x,y,…}∈reg]

在几何区域 reg 上求积分.

更多信息和选项

  • 多重积分使用标准迭代符号的变化形式，给出的第一个变量对应于最外层的积分并最后计算.
  • NIntegrate 缺省下在积分边界上测试奇点，通过 Exclusions 选项设置指定的区域边界.
  • NIntegrate[f,{x,x0,x1,…,xk}] 测试一维积分在每个中间点 xi 的奇点. 如果没有奇点，结果等价于从 x0 到 xk 的积分. 您可以用复数 xi 在复平面上指定一个积分等高线.
  • 可以给出以下选项：
  • AccuracyGoal Infinity寻求的绝对准确度
    EvaluationMonitor None每当 expr 计算，也被计算的表达式
    Exclusions None排除的部分积分区域
    MaxPoints Automatic样本点的最大数量
    MaxRecursion Automatic递归子划分的最大数量
    Method Automatic使用的方法
    MinRecursion 0递归子划分的最小数量
    PrecisionGoal Automatic寻求的精度
    WorkingPrecision MachinePrecision内部计算使用的精度
  • NIntegrate 通常使用一个自适应算法，该算法按需要递归地对积分区域进行划分. MinRecursion 给出递归划分的最小数量. MaxRecursion 给出最大数量.
  • NIntegrate 通常不断进行子划分直至达到由 AccuracyGoal 或 PrecisionGoal 指定的最后结果所需要的误差估计为止.
  • 对于较低维的积分，PrecisionGoal 的设置与 WorkingPrecision 相关. 对于较高维积分，它通常指定一个固定值 2.
  • 您可以意识到，在大量的病理学实例中，NIntegrate 采用的算法给出错误的结果. 在多数实例中，您可以通过在 NIntegrate 选项的设置中查看变化的灵敏度来测试结果.
  • Method 选项的可能设置包括：
  • "GlobalAdaptive"全局自适应积分策略
    "LocalAdaptive"局部自适应积分策略
    "DoubleExponential"双倍指数求积
    "MonteCarlo"蒙特卡洛积分
    "AdaptiveMonteCarlo"自适应蒙特卡洛积分
    "QuasiMonteCarlo"准蒙特卡洛积分
    "AdaptiveQuasiMonteCarlo"自适应准蒙特卡洛积分
  • 设置 Method->{"strategy",Method->"rule"} 或 Method->{"strategy",Method->{rule1,rule2,…}}，可能包括以下政策方法：
  • "GlobalAdaptive"基于整体的误差估计的再分
    "LocalAdaptive"基于局部的误差估计的再分
  • 用作规则的方法包含：
  • "CartesianRule"规则的多维 Cartesian 积
    "ClenshawCurtisRule"Clenshaw–Curtis 规则
    "GaussKronrodRule"有 Kronrod 展开的 Gauss 点
    "LevinRule"Levin 型振荡规则
    "LobattoKronrodRule"有 Kronrod 展开的 Gauss–Lobatto 点
    "MultidimensionalRule"多维对称规则
    "MultipanelRule"一维规则的混合
    "NewtonCotesRule"Newton–Cotes 规则
    "RiemannRule"黎曼求和规则
    "TrapezoidalRule"一维的均匀点
  • 如果设置 Method->"rule"，将自动选择策略方法.
  • 用来增加方法的子选项可以以 Method->{…,opts} 形式给出.
  • NIntegrate 对输入进行符号式分析，从而对振荡型被积函数或其它被积函数进行变换，进一步划分分段函数，以及选择最优化的算法.
  • 方法的子选项 "SymbolicProcessing" 指定执行被积函数的符号分析的最大秒数.
  • 对于不能符号运算的积分，N[Integrate[…]] 调用 NIntegrate.
  • NIntegrate 首先局部化所有变量的值，然后符号计算 f，最后重复数值计算结果.
  • NIntegrate 有属性 HoldAll，实际上用 Block 局部化变量.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (5)

数值积分的运算：

多维积分的运算 (原点处有奇点)：

计算隐式定义的区域的面积和体积：

在任何区域上求积分：

求振荡及其它复杂函数的积分：

范围  (56)

基本用法  (12)

在一个有限的实数范围上求函数的积分：

无限实数范围：

得到高精度的结果：

沿一条有限或无限长的复数直线积分：

在复平面上沿着一条分段线型等高线：

在复平面上沿着一条环形等高线：

对函数实部和积分路径绘图：

为向量和张量定值的函数：Esc

多元函数：

积分变量的限可取决于前面的变量：

在积分区域上绘制被积函数：

在由不等式定义的区域上积分：

绘制积分区域：

在包含特殊区域的任何几何区域上求积分：

公式区域：

网格区域：

求五维单位球体的体积：

通过计算曲面积分，求标准圆柱体的曲面面积：

通过计算直线积分求椭圆长度：

采用蒙特卡洛方法进行多元积分：

奇点积分  (9)

对端点处有代数奇点的函数进行积分：

在积分范围内绘图：

端点处有对数奇点：

在积分范围内绘图：

两个端点均有奇点：

在积分范围内绘图：

使用 Exclusions 在积分区域内部进行奇点测试:

在积分范围内绘图：

在边缘和角落具有奇点的函数的多元积分：

在积分范围内绘图：

奇点位于多维积分区域的角上：

在积分范围内绘图：

在内部点上存在奇点的多元积分：

在内部多个点上存在奇点：

在积分范围内绘图：

在曲线上奇异的函数的多元积分，曲线满足一个方程：

在积分范围内绘图：

函数具有不可积奇点时的柯西主值：

分段积分  (9)

有限个情形的分段函数：

无限个情形的分段函数：

与其它任意函数的复合：

用 Exclusions 显式指定不连续点或尖锐的转角：

在积分范围内绘图：

具有有限个情形的多元分段积分：

显式指定不连续点和尖锐的转角：

绘制区域上的实部和虚部：

在二维区域上积分：

在三维区域上积分：

在 维区域上积分：

振荡积分  (15)

在有限范围上对一个高度振荡初级函数进行积分：

在该范围的 上进行绘图：

高振荡特殊函数：

在该范围的 上进行绘图：

在无限范围上对振荡函数进行积分：

在无限范围上的振荡特殊函数：

振荡函数的和：

绘制 的范围：

振荡函数的乘积：

绘制 的范围：

振荡函数的幂:

绘制 的范围：

振荡函数与非振荡函数的复合：

在积分范围内绘图：

振荡函数的加和、乘积、幂乘和复合：

绘制部分积分范围内的图形：

高振荡函数在有限范围上的多元积分：

在范围的百万分之一上绘图：

振荡特殊函数在有限范围上的多元积分：

在无限范围上的多元振荡函数：

奇异振荡函数：

绘制 的范围：

振荡函数与奇异函数的复合：

在积分范围内绘图：

分段振荡函数：

在振荡率为 处绘图：

具有奇点的分段振荡函数：

在积分范围内绘图：

区域积分  (11)

在单位圆盘上求积分的不同方式：

可视化区域上的积分函数：

在单位圆盘上进行更常见的积分：

可视化区域上的积分函数：

在零维区域上求积分对应于对点求和：

在一维区域上求积分对应于曲线积分：

在二维区域上求积分对应于曲面积分：

通常来说，在低维区域上求积分对应于曲面积分：

区域是低维的：

在包含实心平行四边形的任意基本区域上求积分：

实心圆锥体：

球面：

实心椭圆：

半无穷线：

在任意 ImplicitRegion 上求积分：

全维区域：

在任意 ParametricRegion 上求积分：

全维区域：

在任意 MeshRegion 上求积分：

二维空间中的区域：

三维空间中的区域：

在任意 BoundaryMeshRegion 上求积分：

选项  (30)

AccuracyGoal  (1)

AccuracyGoal 选项可用来改变缺省的绝对公差：

一旦超过准确度标准，积分处理停止：

当缺省仅使用一个精度准则时，缺省设置下的结果不同：

EvaluationMonitor  (2)

获得一个数值积分使用的计算点的数量：

显示数值积分使用的计算点：

Exclusions  (1)

积分区域排除使得被积函数的分母为零的曲线：

被积函数的曲线是奇异的：

MaxPoints  (1)

在超过指定数量的点后，停止积分：

MaxRecursion  (1)

没有足够的自适应递归，给出的较差的结果：

对 MaxRecursion 指定较大的值，给出较好的结果：

指定奇点位置会更有效：

Method  (21)

积分规则  (10)

左侧和右侧黎曼和：

黎曼和在子区域的左端点或右端点均匀采样：

无外推的基本梯形规则，与分段线性逼近对应：

采用 Romberg 外推的梯形规则：

基本梯形规则均匀采样（当自适应关闭时）：

采用梯形规则的缺省自适应法：

采样点间距均匀的 Newton–Cotes 规则：

封闭公式包括端点，而开放公式不包括：

Newton–Cotes 规则对应于多项式插值：

无自适应的逼近等同于对相应多项式的积分：

阶数为 的方法对于次数在 以内的多项式是准确的：

自动选择积分策略的 Clenshaw–Curtis 求积规则：

采样点非均匀：

这些点是 重新调整尺度后的版本：

误差估计采用 Kronrod 外延法的高斯求积规则：

高斯规则使用非均匀分布的采样点：

采用 个高斯点的方法对于次数为 的多项式是准确的：

阶数为 的方法采用足够的点数以保证对次数为 的多项式是准确的：

在 Lobatto 点处采用 Kronrod 外延法的高斯求积规则：

Lobatto 点是不均匀的：

多面板规则（或称复合规则）将指定规则应用于多个子区间：

任何其它规则都可以与多面板规则联用：

使用一维规则的乘积：

一个规则列表自动被解释为规则的乘积：

在 x 上使用均匀采样，在 y 上使用非均匀采样：

使用多维对称规则的多元积分：

多维规则使用采样点的一个离散对称网格：

增加采样点的个数：

使用不同数目的生成程序有时可以改进计算时效：

使用 Levin 型配位规则的振荡函数的积分：

多元 Levin 型规则：

积分策略  (6)

全局自适应积分策略：

基于最大误差，对区域进行再分，直到全局误差足够小：

局部自适应积分策略：

对每个区域进行再分，直到局部误差足够小：

梯形策略，在密度增加处均匀采样：

对整个区域进行再分，并使用一个较低阶的方法：

双指数（"tanh-sinh"）策略，在端点附近的采样点密集：

变换后对整个区域进行再分：

采样点均匀随机分布的蒙特卡洛积分：

采样点具有确定的序列：

蒙特卡洛和准蒙特卡洛的全局自适应版：

绘制不同策略所用的采样点：

符号式处理  (5)

缺省时可进行一些符号式处理：

使用自动数值方法，但不采用符号式处理：

对符号式处理设置一个明确的极限：

控制分段函数的自动再分：

分段函数的自动再分通常会导致函数的计算次数减少：

控制奇偶被积函数的自动简化：

自动简化通常会使函数的计算次数减少：

控制高振荡函数的自动方法选择：

对于高振荡函数，专门的方法会使函数的计算次数减少：

对于非振荡函数，将探测关闭可以节省时间：

控制插值函数的节点处的自动再分：

插值函数的再分可减少计算次数：

对于一个平滑函数的精确插值，再分可能是不必要的：

MinRecursion  (1)

NIntegrate 可能会丢失被积函数的峰值：

增加 MinRecursion 强制指定积分区域的一个更细的再分：

PrecisionGoal  (1)

对于不同公差，用于计算 的样本数：

有 PrecisionGoal，样本数量需要成倍的增加：

WorkingPrecision  (1)

NIntegrate 用较高的工作精度计算积分：

PrecisionGoal 使用 10，这小于 WorkingPrecision：

应用  (26)

基本应用  (2)

计算无封闭形式解的积分：

使用 Interpolation 对一组离散数据进行积分：

Integrate 还可用于插值函数：

对数据和插值进行绘图：

概率和期望  (3)

当 为标准正态分布时，计算 的概率：

直接使用 NProbability：

当 为标准柯西分布时，计算 sqrt(TemplateBox[{x}, Abs]) 的期望：

直接使用 NExpectation：

由概率密度函数（PDF）计算累积分布函数（CDF）：

通过求解方程计算分位数的值：

直接使用 Quantile：

长度，面积和体积  (7)

计算两条曲线之间的面积，将其视作对两者差值的一维积分：

将其视作对两者所包围的区域的二维积分：

绘制计算面积：

计算隐式指定的圆盘的面积：

圆盘环面：

椭圆：

椭圆环面：

扇形：

包括一个球体的简单区域：

球状壳体的一半：

椭圆体：

椭圆壳体的一半：

球面楔：

计算一个区域的面积，该区域使用 Green 定理由参数化曲线定义：

椭圆：

周期性边界曲线：

计算一条参数化曲线的长度：

椭圆：

一条周期性边界曲线：

一个三维圆环：

三维椭圆：

更加一般的曲线：

一个环形弹簧曲线：

计算一个参数式定义曲面的面积：

椭圆体曲面：

环形曲面：

一般的参数式曲面：

使用发散定理计算一个参数式曲面所环绕的体积：

椭圆体体积：

圆环体体积：

一个一般参数式曲面的体积：

线积分、曲面积分和体积积分  (3)

一个循环热力学过程所做的功：

压容图上循环的可视化：

密度均匀的一个区域的质量和质心：

质心的可视化：

三维区域：

质心的可视化：

使用 Stokes 定理，由一个参数式曲面所包围的区域的质心：

质心的可视化：

积分变换  (4)

计算包括傅立叶变换的积分变换：

拉普拉斯变换：

Mellin 变换：

Hilbert 变换：

Hartley 变换：

求一个周期函数在 [0,1] 上的傅立叶系数：

显示近似反变换：

计算一个二次分数傅立叶变换：

由方形孔眼衍射的波幅的 Fraunhofer 积分：

在光轴附近的衍射图：

特殊函数的积分表示  (3)

第一类 TemplateBox[{n, z}, BesselJ] 的 Bessel 函数在实数直线上的积分表示：

与内置函数 BesselJ[n,x] 比较：

在复平面的右半部的 γ 函数 TemplateBox[{z}, Gamma] ：

与内置函数 Gamma[z] 比较：

第二类 TemplateBox[{z, m}, EllipticE2] 在实数直线上的不完全椭圆积分：

与内置函数 EllipticE[z,m] 比较：

函数范数和内积  (2)

一个函数的 范数：

画作为 的函数的 范数的图形：

作为 的函数， 使 TemplateBox[{f}, Norm]_p 最小化：

关于权重函数 的内积，函数在 上有定义：

Legendre 多项式 TemplateBox[{n, x}, LegendreP] 在 上的正交，权重函数为1：

切比雪夫多项式 在 上的正交，权重函数为 ：

Hermite 多项式 在 上的正交，权重函数为 ：

复分析  (2)

比较 在 的余数，视作在包围 的一个等高线上的积分：

与准确值进行比较：

函数在 处的数值导数，视作在包围 的一个等高线上的积分：

对数值定义的函数进行微分：

属性和关系  (9)

NIntegrate 计算低维区域的曲面积分：

区域是低维的：

参数式曲面 的曲面（曲线等）积分 由常积分 给出，其中 是 Gram 判别式：

在参数式圆环曲线 上求积分：

在参数式球体曲面 上求积分：

在零维区域上求积分对应于在点上求和：

当存在一个封闭形式解时，Integrate 可以用 NIntegrate 替代：

NIntegrate 的结果接近明确值：

可以用 NDSolve 替代 NIntegrate：

因为 NIntegrate 使用全局性的误差控制，它通常给出更精确的结果：

用 Euler–Maclaurin公式，求和的尾部近似：

用 Euler–Maclaurin公式近似值与明确值的比较：

NSum 的 Euler–Maclaurin方法使用Integrate 或 NIntegrate：

求从概率密度函数中求出的累积分布函数：

CDF 给出相同结果：

在极点处的函数的 Residue 等价于一个等高线积分：

在等高线上的数值积分，这个等高线包括从 -∞ 到 ∞ 的实数轴：

几个特定函数定义为积分：

对于较高精度，通常指定特定的函数：

可能存在的问题  (6)

对于复杂变化的被积函数，需要多个层次的自适应递归：

指定较高递归的再分层次，将给出一个收敛的结果：

在积分区域内部存在一个奇点的一维积分：

指定奇点的位置，从而可以通过适当变换来处理奇点：

因为缺省使用相对公差，所以零积分计算较慢：

指定有 AccuracyGoal 的绝对公差将减少工作的数量：

在缺省精度下， 高维数的基于容积的积分计算较慢：

降低 PrecisionGoal 会加速计算：

对相同的较低 PrecisionGoal，用一个准 Monte Carlo 方法计算较快：

对于维数高于15，NIntegrate 自动使用蒙特卡洛积分：

计算符号函数可能会需要更长的时间：

限制函数定义以避免符号计算：

定义一个对给定参数进行数值积分的函数：

参数值为 2 时进行计算：

对符号参数应用函数，NIntegrate 生成了一条消息：

当该函数与其他数值函数（如 NMinimize）一起使用时，也会产生警告消息：

定义一个仅在其参数为数值时才进行计算的函数，以避免出现这些消息：

参数为数值时进行计算：

参数不是数值时，函数不会进行计算：

现在，该函数可与其他数值函数（如 NMinimize）一起使用：

巧妙范例  (2)

用一个较低次方法，对一个三维积分的取样：

对具有多个奇异曲线的函数进行积分：

Wolfram Research (1988)，NIntegrate，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/NIntegrate.html （更新于 2014 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，NIntegrate，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/NIntegrate.html （更新于 2014 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "NIntegrate." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2014. https://reference.wolfram.com/language/ref/NIntegrate.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). NIntegrate. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/NIntegrate.html 年

BibTeX

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