正交化一组机器精度向量：

正交化复向量：

正交化精确向量：

正交化任意精度向量：

正交化符号向量：

假设 a 和 b 为实值，简化结果：

高效处理大型数值矩阵：

正交化稀疏矩阵的行：

正交化结构化矩阵的行：

正交化对角矩阵将生成另一个对角矩阵：

正交化 HilbertMatrix：

假设所有变量都是实数，求符号正交基：

用显式内积正交化不是以列表形式给出的向量：

使用纯函数指定内积：

如果小于容差，则不认为两个向量是线性独立的：

m 形成一组几乎线性相关的向量：

使用默认方法的情况下，与标准正交性的差距：

所有方法下的差距：

对于大型数值矩阵，通常 Householder 方法是最快的：

将向量 投影到跨越向量 和 的平面上：

构造一个与 跨越相同空间的正交基：

平面上的投影是在 上的投影之和：

求垂直于平面的分量：

通过将 投影到平面的法线上来确认结果：

可视化平面、向量及其平行和垂直分量：

弗勒内-塞雷系统将每个空间曲线的属性编码为向量基和标量函数. 考虑以下曲线：

使用 Orthogonalize 从前三个导数构造一个正交基：

确保基础是右手侧的：

计算曲率 和扭转 ，量化曲线如何弯曲：

验证使用 FrenetSerretSystem 的答案：

可视化曲线和相关的移动基，也称为标架（Frame）：

求向量 在向量 、 和 所跨越的空间上的正交投影：

首先，为空间构造一个标准正交基：

空间中的分量由 给出：

之差垂直于 所跨越的任何向量：

如果线性系统 无解，最好的近似解是最小二乘解. 这就是 的解，其中 是 在 的列空间上的正交投影. 考虑以下 和 ：

线性系统是不一致的:

求 的列所跨越的空间的标准正交基：

计算 在由 跨越的空间上的正交投影 ：

可视化 ，它在 上的投影 和 ：

求解 ：

使用 LeastSquares 确认结果：

Orthogonalize 可用于找到数据的最佳拟合曲线. 考虑以下数据：

从数据中提取 和 坐标：

令 具有列 和 ，因此最小化 将拟合直线 ：

获取线性最小二乘拟合的系数 和 ：

使用 Fit 验证系数；

绘制最佳拟合曲线和数据：

求以下数据的最佳拟合抛物线：

从数据提取 和 坐标：

令 具有列 、 和 ，因此最小化 将拟合至 ：

构造与 具有相同列空间的正交向量 ：

获取最小二乘拟合的系数 、 和 ：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：

求以下矩阵 的列空间的正交基，然后使用该基找到 的 QR 分解：

将 Gram–Schmidt 应用于 的列，然后将 定义为其列是那些向量的矩阵：

令 ：

确认 ：

与 QRDecomposition 给出的结果进行比较；与 矩阵是相同的：

矩阵因转置而不同，因为 QRDecomposition 给出了行正交结果：

对于埃尔米特矩阵（更一般地，任何正规矩阵），特征向量是正交的，并且通常定义投影矩阵 ，其中 是归一化的特征向量. 证明投影矩阵对一般向量的作用与将向量投影到以下矩阵 的特征空间上的作用相同：

验证 是埃尔米特矩阵：

求特征值和特征向量：

和 都与 正交，因为它们来自不同的特征空间：

它们不需要也不会相互正交，因为它们具有相同的特征值：

使用 Orthogonalize 从 创建一个正交基：

计算投影矩阵：

确认将一般向量乘以 等于向量在 上的投影：

由于 形成一个标准正交基，因此 的和必须是单位矩阵：

此外， 之和是原始矩阵 ：

正定实对称矩阵或度量 定义了由 的内积：

正定意味着相关的二次形 对于 为正：

注意 Dot 本身是与单位矩阵相关的内积：

对 的标准基进行正交化以找到一个正交基：

确认这个基对于内积 是正交的：

傅立叶级数是在内积空间 中正交基上的投影. 定义平方可积函数的标准内积：

正交化在这个内积中 形式的函数：

等于对应于 FourierParameters{0,1} 的对称傅立叶系数：

使用 FourierCoefficient 确认：

傅立叶级数是 在 所跨越的空间上的投影：

使用 FourierSeries 确认结果：

LegendreP 定义关于内积 的正交多项式族. 将 从 0 到 4 的多项式 正交化，以计算前 5 个勒让德多项式的标量倍数：

与传统的勒让德多项式相比：

对于各个 ， 与 相差 倍：

HermiteH 定义关于内积 的正交多项式族. 将未归一化的 Gram–Schmidt 过程应用于 从 0 到 4 的多项式 ，以计算前 5 个埃尔米特多项式的标量倍数：

将 与常规的埃尔米特多项式比较：

对于各个 ， 和 相差一个常数倍：