AsymptoticIntegrate

AsymptoticIntegrate[f,x,xx0]

x0を中心とする x についての不定積分 の漸近近似を計算する．

AsymptoticIntegrate[f,{x,a,b},αα0]

α0を中心とする α についての定積分 の漸近近似を計算する．

AsymptoticIntegrate[f,…,{ξ,ξ0,n}]

漸近近似を次数 n まで計算する．

詳細とオプション

  • 積分の漸近近似は漸近展開または摂動展開としても知られるものである．これらは，ラプラス(Laplace)法，停留値法，最降下法等の特定のメソッドで漸近近似のいくつかを計算する方法としても知られている．
  • 漸近近似は，厳密解が求まらない問題を解くため，あるいは，計算，比較，解釈のためにより簡単な答を得るために，使われることが多い．
  • AsymptoticIntegrate[f,…,xx0]は，f の積分についての漸近展開における最高次数の項を計算する．より多くの項が指定したければSeriesTermGoalを使うとよい．
  • 厳密な結果が g[x]で x0における次数 n の漸近近似が gn[x]の場合は，xx0のとき，AsymptoticLess[g[x]-gn[x],gn[x]-gn-1[x],xx0]または g[x]-gn[x]∈o[gn[x]-gn-1[x]]である．
  • 漸近近似 gn[x]は，しばしば総和 gn[x]αkϕk[x]として与えられる．ただし，{ϕ1[x],…,ϕn[x]}は xx0のときの漸近尺度 ϕ1[x]≻ϕ2[x]≻⋯>ϕn[x]である．結果は，xx0のとき，AsymptoticLess[g[x]-gn[x],ϕn[x],xx0]または g[x]-gn[x]∈o[ϕn[x]]である．
  • 次は，よく使われる漸近尺度である．
  • xx0のとき，テイラー(Taylor)スケール
    xx0のとき，ローラン(Laurent)スケール
    x±∞のとき，ローランスケール
    xx0のとき，ピュイゾー(Puiseux)スケール
  • 漸近近似を表すために使われる尺度は，問題から自動的に推測される．より珍しい尺度が使われることも多い．
  • 中心 x0は，任意の，有限あるいは無限の実数あるいは複素数でよい．
  • 次数 n は正の整数で，漸近解の近似次数を指定しなければならない．これは，多項式次数とは無関係である．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • AccuracyGoalAutomatic目標とする絶対確度の桁数
    Assumptions$Assumptionsパラメータについての仮定
    GenerateConditionsAutomaticパラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
    GeneratedParameters None生成されたパラメータの名付け方
    MethodAutomatic使用するメソッド
    PerformanceGoal$PerformanceGoalパフォーマンスのどの局面について最適化するか
    PrecisionGoalAutomatic目標精度の桁数
    SeriesTermGoalAutomatic近似における項数
    WorkingPrecisionAutomatic内部計算の精度
  • PerformanceGoalの可能な設定には，$PerformanceGoal，"Quality"，"Speed"がある．"Quality"設定のとき，AsymptoticIntegrateはより多くの問題を解いたりより簡単な結果を与えたりすることが多いが，より多くの時間とメモリが必要になる可能性がある．

例題

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例  (3)

積分について最高次の漸近近似を計算する：

積分についての漸近展開を計算する：

厳密な結果の展開と比較する：

ガウス積分についての展開の主項を得る：

必要な項を計算する：

数値近似の結果と比較する：

スコープ  (21)

不定積分  (3)

x=0についての三角積分の漸近展開を計算する：

Integrateが与える結果と比較する：

x=0についての指数塔の積分の漸近展開：

ある点における値を推定する：

NIntegrateが与える値と比較する：

不定積分についての漸近展開をパラメータについて計算する：

指数積分  (6)

ラプラス変換積分の漸近展開を計算する：

LaplaceTransformが与える結果と比較する：

t=-1で最大となるガウスカーネルで関数を定義する：

{0,2}上での積分について，漸近近似における主項を計算する：

数値近似を使った結果と比較する：

t=0で最大となるガウスカーネルで関数を定義する：

{0,2}上の積分について漸近近似を計算する：

数値近似を使った結果と比較する：

t=1で最大となる指数カーネルで関数を定義する：

{1,2}上での積分について，漸近近似における主項を計算する：

数値近似を使った結果と比較する：

t=1で最大となる指数カーネルで関数を定義する：

{0,3}上の積分について漸近近似における主項を計算する：

数値近似を使った結果と比較する：

t=π/2で最大となる指数カーネルで関数を定義する：

{0,3}上の積分について漸近近似における主項を計算する：

数値近似を使った結果と比較する：

振動積分  (4)

上のフーリエ型の積分について漸近展開を計算する：

上での複雑な振動積分について主項近似を求める：

必要な近似を計算する：

数値近似と比較する：

Sinを含む実数振動積分について主項近似を求める：

主項を計算する：

数値近似と比較する：

Cosを含む実数振動積分についての漸近展開を計算する：

2つの項がある展開を計算する：

数値近似と比較する：

一般的な定積分  (4)

x=0における有理関数の積分についての漸近展開を計算する：

Integrateが与える結果と比較する：

x=π/2における三角積分についての漸近展開：

Integrateが与える結果と比較する：

x=0における完全楕円積分についての漸近展開：

Integrateが与える結果と比較する：

x=-Infinityにおける積分についての漸近展開：

数値近似と比較する：

積分変換  (4)

関数のラプラス変換についての漸近展開：

LaplaceTransformを使った厳密な結果の級数展開と比較する：

関数のメリン(Mellin)変換についての漸近展開：

MellinTransformを使った厳密な結果の級数展開と比較する：

関数のフーリエ余弦変換の漸近展開：

FourierCosTransformを使った厳密な結果の級数展開と比較する：

関数のフーリエ正弦変換の漸近展開：

FourierSinTransformを使った厳密な結果の級数展開と比較する：

オプション  (1)

GeneratedParameters  (1)

不定積分の任意定数を生成する：

任意定数のデフォルト値は0である：

アプリケーション  (7)

定積分についての漸近展開を求める：

数値近似と比較する：

項数を増やすことで漸近展開を向上させる：

曲線 の から までの下の面積を求める：

の特定の値についての面積を求める：

が で 軸について回転されたときの体積を求める：

の特定の値についての体積を求める：

立体を可視化する：

LaplaceTransformの漸近バージョンを定義する：

これを使って周期関数の漸近ラプラス変換を計算する：

結果をプロットする：

数値近似と比較する：

ProbabilityDistributionについての漸近平均を，定義域で計算する：

PDF（確率密度関数）を正規化する：

確率密度関数をプロットする：

漸近平均を定義する：

与えられた分布の漸近平均を計算する：

厳密な結果の展開と比較する：

BesselJの積分表現についての漸近展開を得る：

ベッセル(Bessel)関数の数値と比較する：

振動積分について漸近近似を計算する：

結果を数値近似と比較する：

特性と関係  (4)

AsymptoticIntegrateは，指定された次数まで積分を計算する：

Integrateを使って閉形式で積分を計算する：

NIntegrateを使って数値近似を計算する：

AsymptoticExpectationを使って漸近期待値を計算する：

AsymptoticIntegrateを使って同じ結果を得る：

考えられる問題  (1)

例について返される展開は4項未満である：

欠落した項は，より一般的な積分の展開には存在する：

Wolfram Research (2018), AsymptoticIntegrate, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html （2020年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2018), AsymptoticIntegrate, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html （2020年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2018. "AsymptoticIntegrate." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html.

APA

Wolfram Language. (2018). AsymptoticIntegrate. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticIntegrate.html

BibTeX

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BibLaTeX

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