2×2実行列のコレスキー分解を計算する：

分解を確認する：

もとの行列は正定値行列である：

3×3複素エルミート行列のコレスキー分解を計算する：

結果は上三角行列である：

三角線形系は，最初の方程式には一つの変数があり，続く方程式で変数が一つづつ追加される線形方程式の系である．変数が3つの次の系を変数が6つの2つの三角線形系に書き直す：

系を行列形式 に書き直し， のコレスキー分解を計算する：

もとの系は と並び替えることができる：

新たな変数 を導入し， と設定する．結果はの三角線形系である：

を に代入すると になるが，これはの三角線形系である：

6つの三角方程式を一緒にすると についてもとの方程式系と同じ結果が与えられる：

コレスキー分解を使うと，例えばモンテカルロシミュレーションにおけるように，多くの独立したランダムな値からの共分散が指定されたランダムなサンプルを作ることができる．希望する共分散行列から始めて下三角行列 を計算する．ここで， はコレスキー分解である：

100万個の独立サンプルを生成し，それぞれに を掛ける：

サンプルの共分散は希望する共分散とおよそ3桁目まで一致する：

コレスキー分解の入力行列はエルミート行列かつ正定値行列でなければならない：

分解を計算する：

ConjugateTranspose[u].u == m を確認する：

CholeskyDecomposition[m]は上三角行列かつ正定値行列である：

このコレスキー分解は行列の平方根と同じものではない：

コレスキー分解は上三角行列であるが，平方根はエルミート行列である：

しかし，どちらも正定値行列で同じ行列式を持つ：

実行列 について， のコレスキー分解は のQR分解と符号まで一致する：

Transpose[m].m のコレスキー分解を求める：

QRDecomposition[m]を計算する：

各行の符号の選択を除いて は に等しい：

任意の行列 について， のコレスキー分解は のQR分解と位相まで一致する：

ConjugateTranspose[m].m のコレスキー分解を求める：

Compute QRDecomposition[m]を計算する：

各行の位相の選択を除いて は に等しい：

エルミート行列のLDLDecompositionは，l が下三角行列，d が対角行列で行列が となるようなペアを与える：

コレスキー分解は，正定値行列については，LDLDecompositionから .として復元できる：

CholeskyDecompositionは一種のLU分解である：

これは，一般に，LUDecompositionが与えるものとは別の分解である：

数値的な丸めを乗り越えるためには行列は十分に正定でなければならない：

最小の固有値は実質的に機械精度の0である：

分解は，その分解が解けるだけ精度が十分に高ければ，計算することができる：

s は疎な三重対角行列である：

たとえ結果が疎であっても，コレスキー分解は密行列として計算される：

LinearSolveを使うと，疎なコレスキー因子分解を持つLinearSolveFunctionが返される：