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CholeskyDecomposition[m]

给出矩阵 m 的 Cholesky 分解.

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CholeskyDecomposition

CholeskyDecomposition[m]

给出矩阵 m 的 Cholesky 分解.

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范例

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基本范例  (2)

计算 2×2 实矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[(⁠| | | | - | - | | 2 | 1 | | 1 | 2 |⁠)]

验证该分解：

Wolfram Language code: ConjugateTranspose[%].%//MatrixForm

原始矩阵是正定矩阵：

Wolfram Language code: PositiveDefiniteMatrixQ[(⁠| | | | - | - | | 2 | 1 | | 1 | 2 |⁠)]

计算 3×3 复埃尔米特矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[(⁠| | | | | ----------------------------------------- | ----------------------------------------- | ----------------------------------------- | | 2.4138543944035415 + 0. I | -2.4654688123131883 - 1.922250972681738 I | 1.1102409170396648 + 2.2005827949357206 I | | -2.4654688123131883 + 1.922250972681738 I | 6.25162395665795 + 0. I | -4.11767176535921 - 1.3474244699923004 I | | 1.1102409170396648 - 2.2005827949357206 I | -4.11767176535921 + 1.3474244699923004 I | 3.433935295685307 + 0. I |⁠)]//MatrixForm

结果是上三角矩阵：

Wolfram Language code: UpperTriangularMatrixQ[%]

范围  (11)

基础用法  (7)

求机器精度矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: m = {{0.5, 0.3, 0.4}, {0.3, 1.1, -0.2}, {0.4, -0.2, 0.7}};
Wolfram Language code: u = CholeskyDecomposition[m]

验证结果：

Wolfram Language code: m == Transpose[u].u

复矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[{{2, I}, {-I, 3}}]

CholeskyDecomposition 将检验输入是否并非埃尔米特和正定矩阵：

Wolfram Language code: m = {{2, I}, {I, 3}}; CholeskyDecomposition[m]

矩阵 m 为正定矩阵但并非埃尔米特矩阵：

Wolfram Language code: {HermitianMatrixQ[m], PositiveDefiniteMatrixQ[m]}

将 CholeskyDecomposition 用于精确矩阵：

Wolfram Language code: u = CholeskyDecomposition[(⁠| | | | | ---- | --------- | --- | | 5E^2 | 14 | 15 | | 14 | Sqrt[863] | 8 | | 15 | 8 | 18π |⁠)]

验证结果：

Wolfram Language code: u^.u//MatrixForm

任意精度矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: RandomVariate[WishartMatrixDistribution[7, {{1, 1 / 2, 0}, {1 / 2, 2, -1 / 2}, {0, -1 / 2, 1}}], WorkingPrecision -> 15]
Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[%]//MatrixForm

将 CholeskyDecomposition 用于符号矩阵：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[(⁠| | | | - | - | | a | b | | b | a |⁠)]

在验证结果时，需要条件来确保矩阵是正定矩阵：

Wolfram Language code: FullSimplify[ConjugateTranspose[%].%, a > b && a > -b]

这可以理解为确保所有特征值都是正值：

Wolfram Language code: Eigenvalues[(⁠| | | | - | - | | a | b | | b | a |⁠)]

高效计算大型数值矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: A = RandomReal[1, {1000, 1000}]; mat = A.A^;
Wolfram Language code: AbsoluteTiming[CholeskyDecomposition[mat];]

实对称正定 CenteredInterval 矩阵的 Cholesky 分解：

Wolfram Language code: rm = Map[CenteredInterval, RandomReal[{-10, 10}, {3, 3}, WorkingPrecision -> 10], {2}]; (m = rm.Transpose[rm])//MatrixForm
Wolfram Language code: (q = CholeskyDecomposition[m])//MatrixForm
Wolfram Language code: MapThread[IntervalMemberQ, {Transpose[q].q, m}, 2]//MatrixForm

特殊矩阵  (4)

求稀疏矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[SparseArray[Automatic, {5, 5}, 0, {1, {{0, 5, 10, 15, 20, 25}, {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}}}, {3, 3, 3, 2, 1, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 3, 3, 1}}]]//MatrixForm

验证该分解：

Wolfram Language code: %.% == SparseArray[Automatic, {5, 5}, 0, {1, {{0, 5, 10, 15, 20, 25}, {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1}}}, {3, 3, 3, 2, 1, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 3, 3, 1}}]

结构化矩阵的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: SymmetrizedArray[{{1, 1} -> 5, {2, 2} -> 3, {3, 1} -> 2, {3, 3} -> 1}, {3, 3}, Symmetric[All]]
Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[%]

用于 QuantityArray 结构化矩阵：

Wolfram Language code: QuantityArray[{{1, 2}, {2, 5}}, "Meters"]
Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[%]

单位矩阵的乔里斯基分解是单位矩阵：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[IdentityMatrix[3]]

HilbertMatrix 的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: m = HilbertMatrix[5];
Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[m]//MatrixForm

选项  (1)

TargetStructure  (1)

设置 TargetStructure->"Dense"，结果会以稠密矩阵的形式给出：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[(⁠| | | | | | - | - | - | - | | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 2 | 2 | | 1 | 2 | 3 | 3 | | 1 | 2 | 3 | 4 |⁠), TargetStructure -> "Dense"]

设置 TargetStructure->"Structured"，结果会以 UpperTriangularMatrix 的形式给出：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[(⁠| | | | | | - | - | - | - | | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 2 | 2 | 2 | | 1 | 2 | 3 | 3 | | 1 | 2 | 3 | 4 |⁠), TargetStructure -> "Structured"]

应用  (2)

三角线性方程组是一个线性方程组，其中第一个方程有一个变量，而随后的每个方程正好引入一个附加变量. 将以下三变量方程组改写为两个六变量三角线性方程组：

Wolfram Language code: system = {3 x - y + z == 3, -x + 3 y == 5, x + 3 z == 7};

以矩阵形式 重写方程组并计算 的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: v = {x, y, z}; m = {{3, -1, 1}, {-1, 3, 0}, {1, 0, 3}}; b = {3, 5, 7}; u = CholeskyDecomposition[m]

原始方程组可以重新排序为 ：

Wolfram Language code: system == Thread[u.u.v == b]

引入新变量 并设置 ; 结果是 中的三角方程组：

Wolfram Language code: ν = {ξ, ψ, ζ}; tri1 = Reverse[Thread[u.v == ν]]; Column[tri1]

将 代入 得到 TemplateBox[{u}, ConjugateTranspose].v=b， 中的一个三角方程组：

Wolfram Language code: tri2 = Thread[u.ν == b]; Column[tri2]

六个三角方程一起给出了与原始方程组相同的 的结果：

Wolfram Language code: v /. Solve[Join[tri1, tri2], Join[v, ν]]
Wolfram Language code: SolveValues[system, v]

乔里斯基分解可用于从许多独立随机值创建具有指定协方差的随机样本，例如蒙特卡罗模拟. 从所需的协方差矩阵开始，计算下三角矩阵 l=TemplateBox[{u}, ConjugateTranspose]，其中 是乔里斯基分解：

Wolfram Language code: cov = (⁠| | | | | ------------------- | ------------------- | ------------------- | | 0.5679913970339641 | 0.13175676534111222 | 0.22467465390992986 | | 0.13175676534111222 | 0.7257156525584264 | 0.685100031070936 | | 0.22467465390992986 | 0.685100031070936 | 2.64673926689887 |⁠); l = CholeskyDecomposition[cov]

生成一百万个独立样本并将每个样本乘以 ：

Wolfram Language code: rand = l.#& /@ RandomVariate[NormalDistribution[], {10 ^ 6, 3}];

样本的协方差与期望的协方差一致，精确到小数点后三位：

Wolfram Language code: Covariance[rand]//MatrixForm//NumberForm[#, 3]&

属性和关系  (7)

乔里斯基分解要求输入矩阵是埃尔米特和正定矩阵：

Wolfram Language code: m = {{4, 3, 2, 1}, {3, 4, 3, 2}, {2, 3, 4, 3}, {1, 2, 3, 4}}; HermitianMatrixQ[m] && PositiveDefiniteMatrixQ[m]

计算该分解：

Wolfram Language code: u = CholeskyDecomposition[m]

验证 ConjugateTranspose[u].u == m:

Wolfram Language code: ConjugateTranspose[u].u == m

CholeskyDecomposition[m] 是上三角和正定矩阵：

Wolfram Language code: CholeskyDecomposition[{{3, 2, 1}, {2, 3, 2}, {1, 2, 3}}]
Wolfram Language code: UpperTriangularMatrixQ[%] && PositiveDefiniteMatrixQ[%]

乔里斯基分解与矩阵平方根不同：

Wolfram Language code: c = CholeskyDecomposition[{{3, 2, 1}, {2, 3, 2}, {1, 2, 3}}]
Wolfram Language code: s = MatrixFunction[Sqrt, {{3, 2, 1}, {2, 3, 2}, {1, 2, 3}}]//FullSimplify

乔里斯基分解是上三角矩阵，而平方根是埃尔米特矩阵：

Wolfram Language code: HermitianMatrixQ[s]

然而，两个矩阵都是正定的，并且具有相同的行列式：

Wolfram Language code: {FullSimplify[Det[c] == Det[s]], PositiveDefiniteMatrixQ[s], PositiveDefiniteMatrixQ[c]}

对于实数矩阵 ，TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].m 的乔里斯基分解与 的 QR 分解直到符号都一致：

Wolfram Language code: m = RandomReal[1, {6, 3}];

求 Transpose[m].m 的乔里斯基分解：

Wolfram Language code: u = CholeskyDecomposition[Transpose[m].m];

计算 QRDecomposition[m]:

Wolfram Language code: {q, r} = QRDecomposition[m];

除了对每行符号的选择不同之外， 与 一致：

Wolfram Language code: Chop[r Sign[Tr[r, List]] - u]

对于任何矩阵 ，TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].m 的乔里斯基分解与 的 QR 分解一致：

Wolfram Language code: m = RandomComplex[1 + I, {6, 3}];

求 ConjugateTranspose[m].m 的 Cholesky 分解：

Wolfram Language code: u = CholeskyDecomposition[ConjugateTranspose[m].m];

计算 QRDecomposition[m]:

Wolfram Language code: {q, r} = QRDecomposition[m];

除了对每行符号的选择不同之外， 与 一致：

Wolfram Language code: Chop[r Sign[Tr[r, List]] - u]

对于埃尔米特矩阵，LDLDecomposition 给出一对 ，使得 l 是下三角矩阵，d 是对角矩阵，并且原矩阵等于 l.d.TemplateBox[{l}, ConjugateTranspose]：

Wolfram Language code: m0 = RandomComplex[1 + I, {6, 3}]; m = ConjugateTranspose[m0].m0; {l, d} = LDLDecomposition[m]

对于正定矩阵，可以通过 .TemplateBox[{l}, ConjugateTranspose] 从 LDLDecomposition 恢复 Cholesky 分解：

Wolfram Language code: c1 = Sqrt[d].ConjugateTranspose[l]; c1 == CholeskyDecomposition[m]

CholeskyDecomposition 是一种 LU 分解：

Wolfram Language code: h = {{2, 1}, {1, 2}}; MatrixForm[u = CholeskyDecomposition[h]]
Wolfram Language code: MatrixForm[l = ConjugateTranspose[u]]
Wolfram Language code: l.u == h

这通常是一个与 LUDecomposition 给出的分解不同的分解：

Wolfram Language code: MatrixForm /@ Take[LUDecomposition[h], 2]

可能存在的问题  (2)

矩阵必须为充分正定，以避免数字舍入：

Wolfram Language code: Head[CholeskyDecomposition[N[HilbertMatrix[16]]]]

最小特征值在机器精度下相当于 0：

Wolfram Language code: N[Eigenvalues[HilbertMatrix[16]]]

当精度足够高时，可以计算分解：

Wolfram Language code: Head[CholeskyDecomposition[N[HilbertMatrix[16], 24]]]

s 是一个稀疏三对角线矩阵：

Wolfram Language code: s = Block[{n = 500}, SparseArray[{{i_, i_} -> 2.n ^ 2 - 1., {i_, j_} /; Abs[i - j] == 1 -> -1.n ^ 2}, {n, n}]]

即便结果为稀疏的，还是将 Cholesky 分解作为稠密矩阵计算：

Wolfram Language code: u = CholeskyDecomposition[s]; ArrayPlot[u]

用 LinearSolve 将得到一个有着稀疏 Cholesky 因式分解的 LinearSolveFunction：

Wolfram Language code: f = LinearSolve[s, Method -> "Cholesky"]
Wolfram Language code: N[ByteCount[u] / ByteCount[f]]
Wolfram Research (2003)，CholeskyDecomposition，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html （更新于 2024 年）.

文本

Wolfram Research (2003)，CholeskyDecomposition，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html （更新于 2024 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2003. "CholeskyDecomposition." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html.

APA

Wolfram 语言. (2003). CholeskyDecomposition. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_choleskydecomposition, author="Wolfram Research", title="{CholeskyDecomposition}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/CholeskyDecomposition.html}", note=[Accessed: 04-September-2026]}

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