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Wolfram 语言与系统参考资料中心

CompanionMatrix

CompanionMatrix

CompanionMatrix[cvec]

返回与系数向量 cvec 对应的伴随矩阵.

CompanionMatrix[{poly,x}]

返回一个与关于变量 x 的多项式 poly 相对应的伴随矩阵.

CompanionMatrix[c,dir]

返回一个方向参数 dir 指定的伴随矩阵.

更多信息和选项

伴随矩阵为矩阵的 Frobenius 分解提供了构造块.
CompanionMatrix[c] 默认情况下返回一个矩阵，其次对角线元素等于 1，最后一列由首一特征多项式的负系数组成.

CharacteristicPolynomial[CompanionMatrix[C],x] 为（正负不同）. MatrixMinimalPolynomial[CompanionMatrix[C],x] 则正好是该多项式. »
伴随矩阵在循环子空间中自然出现： »
, …, ,
其中是单位向量 UnitVector[n,i]. FrobeniusDecomposition 会返回这种形式的分块伴随矩阵.
当利用状态变量将单个微分方程状态空间形式时，转置伴随矩阵会自然出现：，以及 ⟹ $x^(')(t)=TemplateBox[{C}, Transpose].x(t)$ .
StateSpaceModel[TransferFunctionModel[…]] 返回这种形式的系统模型.
CompanionMatrix[cvec] 假定存在一个隐式的首一项，其次数等于列表的长度. 具体而言，它将列表 cvec={c₀,c₁,…,c_n-1} 视为多项式的系数. »
CompanionMatrix[{poly,x}] 不假定存在一个隐式的最高阶项. 它要求 poly 必须明确是关于变量 x 的多项式（且多项式的次数为正）.
CompanionMatrix[c,dir] 使用 dir 以确定所得到的矩阵布局. 它必须是 Right（默认），Bottom，Left 或 Top 之一. c 的系数将按照此指令进行放置.

对于 Right 或 Left，系数分别沿最后一列或第一列排列；而对于 Bottom 或 Top，则分别沿最后一行或第一行排列. 在 Right 和 Bottom 的情况下，常数项系数位于首位；而对于 Left 和 Top，最高次项系数则排在首位. 由 1 组成的带状区域将位于次对角线，对于 Right 和 Top；对于 Bottom 和 Left，则位于主对角线上方.
最常用的方向是 Right 和 Bottom，它们是彼此的转置. 同时，Top 和 Left 也是彼此的转置. »
伴随矩阵的特征值是 poly 的根，无论选择什么方向. »
可给出以下选项：
TargetStructure Automatic 返回的矩阵的结构
TargetStructure 可取的设置包括：
Automatic 自动选择返回的表示

"Dense" 用稠密矩阵表示矩阵

"Sparse" 用稀疏矩阵表示矩阵

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (1)

计算多项式 5+2x+3x²+x³ 的伴随矩阵：

使用多项式规范：

范围 (3)

CompanionMatrix 采用显示多项式：

CompanionMatrix 采用符号式输入：

给出一个系数列表，并显示其相应的伴随矩阵：

CompanionMatrix 默认使用 Right 规范：

反之，将系数放在最下面一行：

检查这些矩阵是否是相互的转置：

在顶行中放置系数：

在最左侧的列中放置系数：

检查这些矩阵是否是相互的转置：

展示这四个案例：

选项 (1)

TargetStructure (1)

默认情况下，CompanionMatrix 返回一个密集矩阵：

取而代之，返回一个稀疏数组 SparseArray：

检查它是否与密集结果相对应：

属性和关系 (6)

CompanionMatrix[{a₀+a₁x+…+a_n-1 x^n-1+xⁿ,x}] 和CompanionMatrix[{a₀,…,a_n-1}] 是一样的：

对于，MatrixMinimalPolynomial[CompanionMatrix[c],x] 是的关联多项式：

CharacteristicPolynomial[c,x] 是乘以最小多项式：

计算伴随矩阵的特征值：

这些值与相应多项式的根相同：

所有四种可能的布局都有相同的特征值：

CompanionMatrix[{c₀,c₁,…}] 的行列式是 c₀：

它也是关联多项式中的常数项：

因此，只要，矩阵就是可逆的：

计算矩阵的特征多项式：

构建与该多项式对应的伴随矩阵：

这与Frobenius范式一致：

对于 c==CompanionMatrix[[c₀,c₁,…}]，向量、、、是 $TemplateBox[{}, Complexes]^n$ 的标准基：

则为：

可能存在的问题 (1)

如果一个系数列表仅包含两个元素，且第二个元素是符号变量，那么该列表将被解释为一个多项式，其中列表中的第二个元素作为该多项式的变量：

相反，获得一个多项式的伴随矩阵，相对应的常数项和线性项分别为 3+x 和 x，还具有首一的二次项.

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