機械精度による固有値分解：

おおよそ18桁精度での固有値分解：

複素行列の分解を計算する：

結果を機械精度演算でチェックする：

実数の厳密固有分解：

複素数の厳密固有分解：

記号行列の固有値分解：

大きい数値行列の固有値分解は効率的に計算される：

疎な行列の固有値分解：

構造化行列の固有値分解：

変換行列を無次元とする，対角行列内のQuantityArrayオブジェクトの単位：

IdentityMatrix[n]は，固有ベクトルの順序決定を除いて自明な固有分解を持つ：

HilbertMatrixの固有値：

行列を最初に数値化した場合， 行列（ 行列は除く）は大きく変化する：

これは，数値入力に対して固有ベクトルが正規化されるためである：

CenteredInterval行列の固有値分解：

関係がすべての成分に対して0を含む小さい区間を与えることを確認する：

3×3 Vandermonde行列：

一般に，厳密な3×3行列について，結果はRootオブジェクトによって与えられる：

根号による結果が欲しい場合はCubicsオプションを使うとよい：

固有ベクトルの完全集合を持たない，繰り返される固有値を持つ行列：

機械精度で許容範囲が自動の場合，上記は固有値分解を持たない：

行列にランダムなノイズを加える：

デフォルトの許容値の場合，以下は固有値分解を与える：

許容値を加えられたノイズレベルより若干低くする：

4×4行列：

一般に，4×4行列の場合，結果はRootオブジェクトで与えられる：

CubicsオプションおよびQuarticsオプションを使うことで，結果を根号を含む形で得ることができる：

{t，v}＝EigenvalueDecomposition[m]において，t の列は m の固有ベクトルである：

これは，m.t の各列が，t の各列を対応する固有ベクトルで乗じたものに等しくなることを意味する：

v₁および v₂を固有ベクトルとする：

正の固有値を持つ固有ベクトルは，そのベクトルに行列が作用する際に同じ方向を向く：

固有値が負の固有ベクトルは，行列によって作用されるとき，反対方向を指す：

次の行列 およびそれに関連する二次形式 について考察する：

固有ベクトルは， によって定義される双曲線の軸である：

固有値の符号は，双曲線方程式の右辺の符号に対応する：

以下は三次元における正定値二次形式である：

曲面 をプロットする：

CoefficientArraysを使って二次形式のための対称行列を取得する：

その固有分解を数値的に計算する：

楕円体の主軸を表示する：

次に，d により定義される二次形式について考察する：

これは q と同じ次元のレベル集合を持つ：

しかしながら，レベル集合は座標軸に整列するように回転されている：

次の行列を の形で対角化する：

これはEigenvalueDecomposition[m]によって直接与えられる：

恒等式 を確認する：

これで，行列の任意の関数を として計算できるようになった．例えば，MatrixPowerを使うと以下のようになる：

同様に，MatrixExp は自明となり， の対角成分を累乗するだけでよくなる：

標準行列が行列 で与えられている線形変換 について考える．上の基底 であって，変換 のその基底における表現が対角行列となるものを求める：

の固有値分解を計算する：

は の列から成るとする：

は， 座標から標準座標への変換を行い，その逆写像は逆方向への変換を行う：

したがって，は によって与えられるが，これは対角行列である：

これは単に行列 である点に留意のこと：

実数値対称行列は，直交的に対角化できる．すなわち，という形で表され，ここで は対角成分で実数であり， は直交行列である．次の行列が対称行列であることを確認し，これを対角化する：

固有値分解を計算することにより， を直接得ることができる：

直交変換行列を確実にするためには， の各列を正規化する必要がある：

この行列は直交行列である：

であることを確認する：

行列が正規行列と呼ばれるのは，である場合である．正規行列は，ユニタリ変換によって対角化可能な最も一般的な種類の行列である．任意の実対称行列 も正規である．なぜなら，等式の両辺が単に となるからである：

次の行列が正規行列であることを示し，次に対角化する：

NormalMatrixQ を使って確認する：

固有値分解を求める：

実対称行列とは異なり，この行列の対角行列は複素値となる：

各列を正規化することにより， はユニタリ行列となる：

対角化 を確認する：

が以下の確率行列である場合に，力学系 の一般解を導出する：

固有分解を求める：

一般解は， となる．このとき， は任意の始点である:

が対角行列であるため，要素ごとの累乗とMatrixPowerは同一の操作となることに注意されたい：

が数値的丸め誤差の範囲内で力学方程式を満たしていることを検証する：

常微分方程式系 ，， を解く．まず，右辺に対する係数行列 を構築する：

固有値分解を求める：

を， の対角成分に対して を掛け，ベキ指数で表現した行列とする：

一般解は であるが，これは3つの任意の初期値に対応するものである：

DSolveValueを用いて解を検証する：

ある粒子が平面力場内を運動しており，その位置ベクトル が および を満たすと仮定する．ここで， および はそれぞれ次のように与えられる．について，この初期問題を解くこととする：

まず， の固有値および対応する固有ベクトルを計算する：

一般解は である．LinearSolveを用いて係数ベクトル を決定する：

固有ベクトルの適切な線形結合を構成する：

は， の対角成分を指数化することで計算可能である：

DSolveValueを用いて解を検証する：

ローレンツ方程式：

これらの方程式の右辺に対するヤコビ行列を求める：

平衡点を求める：

第一象限における平衡点でのヤコビ行列の固有分解を求める：

pt の微小摂動から dir の方向へ逆向きに積分を行う関数：

右側の平衡点に対応する安定曲線を示す：

左側の平衡点に対する安定曲線を求める：

安定曲線をローレンツ方程式の解とともに表示する：

量子力学においては，状態は複素ユニットベクトルによって表され，物理量はエルミート線形演算子によって表される．固有値は可能な観測値を示し，固有ベクトルに関する成分の二乗ノルムはそれら観測値の出現確率を与える．スピン演算子 および状態 が与えられたとき，可能な観測値およびその確率を求める：

固有分解を計算する場合，得られる可能性のある観測値はである：

適切な回転行列を計算するために，固有ベクトルを正規化する：

この行列はユニタリ行列である：

の随伴作用素は固有ベクトルへの射影を行い，それによっての相対確率（に対応）およびの相対確率（に対応）が与えられる：

量子力学において，エネルギー演算子はハミルトニアン と呼ばれ，状態はシュレディンガー方程式 に従って発展する．定磁場中のスピン1粒子のハミルトニアンが 方向にある場合，初期状態がで を表す粒子について，時点 における状態を求める：

固有系を計算すると，エネルギー準位はおよびである：

固有ベクトルを正規化する：

この行列はユニタリ行列である：

より，時点 における状態は次の式で与えられる：

慣性モーメントは，剛体がさまざまな方向に回転することに対する抵抗を記述する実対称行列である．この行列の固有値は主慣性モーメントと呼ばれ，対応する固有ベクトル（必ず直交する）は主軸と呼ばれる．以下に示す四面体について，主慣性モーメントおよび主軸を求める：

まず慣性モーメントを計算する：

主慣性モーメントおよび主軸を計算する：

座標軸が直交していることを確認する：

この四面体の重心は原点に位置する：

四面体およびその主軸を可視化する：