机器精度的特征值分解：

近似 18 位精度的特征值分解：

计算一个复矩阵的分解：

检查机器运算结果：

精确的实特征分解：

精确的复特征分解：

符号矩阵的特征值分解：

可高效计算大型数值矩阵的特征值分解：

稀疏矩阵的特征值分解：

结构化矩阵的特征值分解：

QuantityArray 对象的单位在对角矩阵的特征值中，使得变换矩阵则是无量纲的：

IdentityMatrix[n] 的特征值分解比较简单，仅特征向量的排列顺序可能不同：

HilbertMatrix 的特征向量：

如果首对矩阵进行数字化，则 矩阵（而不是 矩阵）将发生显著变化：

这是因为对于数值输入，特征向量会被归一化：

CenteredInterval 矩阵的特征值分解：

检查关系是否为所有分量给出接近零的小间隔：

一个 3×3 Vandermonde 矩阵:

一般来说，对于精确的 3×3 矩阵，结果将以 Root 对象的形式给出：

要获得以根数表示的结果，使用 Cubics 选项：

一个具有重复特征值但特征向量不构成完备集的矩阵：

在机器精度和自动容差设置下，该矩阵无法进行特征值分解：

在矩阵中加入随机噪声：

在默认容差下，这将给出一个特征值分解：

将容差设置为略低于增加的噪音的水平：

4×4 矩阵：

一般情况下，对于一个 4×4 矩阵，会用 Root 对象给出结果：

可以用 Cubics 和 Quartics 选项得到以根式表示的结果：

在 {t,v}=EigenvalueDecomposition[m] 中，t 的列是 m 的特征向量：

这意味着矩阵 m.t 的列将等于 t 的各列乘以对应的特征向量：

令 v₁ 和 v₂ 为特征向量：

具有正特征值的特征向量在矩阵作用下指向相同方向：

具有负特征值的特征向量在矩阵作用下指向相反方向：

考虑以下矩阵 及相关的二次型 ：

特征向量是由 定义的双曲线的轴：

特征值的符号对应于双曲线方程右侧的符号：

这是一个三维的正定二次型：

绘制曲面 ：

用 CoefficientArrays 获取二次型的对称矩阵：

用数值法计算特征分解：

显示椭球体的主轴：

现在考虑由 d 定义的二次型：

它的水平集与 q 具有相同的维度：

但是这些水平集经过旋转以与坐标轴对齐：

将以下矩阵对角化为 ：

这可以直接由 EigenvalueDecomposition[m] 得出：

确认恒等式 ：

现在可以计算矩阵的任意函数，形式为 . 例如，MatrixPower：

同样，MatrixExp 变得非常简单，仅需对 的对角线元素进行指数运算即可：

设 是一个线性变换，其标准矩阵由矩阵 给出. 在 中找到一个基 ，使得 在该基下的表示 为对角矩阵：

计算 的特征值分解：

设 由 的列组成：

将 坐标转换为标准坐标，其逆矩阵则执行反向转换：

因此 由 给出，这是一个对角矩阵：

注意，这就是矩阵 ：

一个实对称矩阵可正交对角化为 ，其中 为对角实矩阵， 为正交矩阵. 请验证以下矩阵是对称的，然后将其对角化：

计算特征值分解，直接得到 ：

为确保得到正交变换矩阵，需归一化 中的列：

矩阵是正交矩阵：

验证 ：

如果 ，则矩阵称为正规矩阵. 正规矩阵是可通过酉变换对角化的最常见的一种矩阵. 所有实对称矩阵 都是正规矩阵，因为等式两边就是 ：

证明下面的矩阵是正规矩阵，并将其对角化：

用 NormalMatrixQ 进行验证：

求特征分解：

与实对称矩阵不同，该矩阵的对角矩阵具有复数值：

对 中的每一列进行归一化后，可得到一个酉矩阵：

验证对角化 ：

求动态系统 的通解，其中 为如下随机矩阵：

求特征分解：

通解为 ，其中 是任意起始点：

注意，由于 是对角矩阵，逐元素幂运算与 MatrixPower 是相同的操作：

验证 满足动态方程（数值舍入误差范围内）：

求解常微分方程 (ODE) 方程组 、、. 首先，构造右侧的系数矩阵 ：

求特征分解：

构造一个对角矩阵 ，其中 的对角元素乘以 并进行指数运算：

对于任意三个起始值，通解为 ：

用 DSolveValue 验证解：

假设一个粒子在平面力场中运动，其位置向量 满足 且 ，下面给出了 和 . 求解 时的初始问题：

首先，计算 的特征值和对应的特征向量：

通解为 . 用 LinearSolve 确定系数向量 ：

构建特征向量的适当线性组合

注意， 可通过对 的对角线元素进行指数运算得到：

用 DSolveValue 验证解：

Lorenz 方程：

求以下方程组右侧的雅可比矩阵：

求平衡点：

在第一象限的平衡点处求雅可比矩阵的特征分解：

一个从点 pt 沿方向 dir 进行微小扰动后逆向积分的函数：

显示右侧平衡点的稳定曲线：

求左侧平衡点的稳定曲线：

显示稳定曲线与洛伦兹方程的解：

在量子力学中，状态由复单位向量表示，物理量则由厄尔米特线性算子描述. 特征值表示可能的观测结果，而相对于特征向量的分量的模的平方则表示这些观测结果的概率. 对于给定的自旋算子 和状态 ，求可能的观测值及其概率：

计算特征分解，可能的观测值为 ：

对特征向量进行归一化以计算正确的旋转矩阵：

矩阵是酉矩阵：

的伴随算子投影到特征向量上，得到 的相对概率为 ， 的相对概率为 ：

在量子力学中，能量算符被称为哈密顿量 ，状态根据薛定谔方程 演化. 给定自旋为 -1 的粒子在 方向恒定磁场中的哈密顿量，求初始状态为 （表示 ）的粒子在时刻 的状态：

计算特征系统后，能级为 和 ：

归一化特征向量：

矩阵是酉矩阵：

根据 ，时刻 的状态由下式给出：

惯性矩是一个描述刚体在不同方向旋转时所受阻力的实对称矩阵. 该矩阵的特征值被称为主惯性矩，对应的特征向量（必然正交）则称为主轴. 计算以下四面体的主惯性矩与主轴：

先计算惯性矩：

计算主惯性矩与轴：

验证轴是正交的：

四面体的质心位于原点：

可视化四面体及其主轴：