最小化受约束条件 限制的 ：

最小化受约束条件 和 限制的 ：

最小化受约束条件 且界限为 限制的 ：

用 VectorLessEqual 同时表示几个 LessEqual 不等式约束条件：

用 v<= 以紧凑格式输入向量不等式：

用标量不等式表示的等价格式：

用 VectorGreaterEqual 同时表示几个 GreaterEqual 不等式约束条件：

用 v>= 以紧凑格式输入向量不等式：

用 Equal 同时表示几个等式约束条件：

用几个标量等式表示的等价格式：

用标量和向量不等式的组合指定约束条件：

用标量不等式表示的等价格式：

最小化受约束条件 限制的 . 使用向量变量 ：

用标量变量表示的等价格式：

用向量变量和向量不等式指定问题：

最小化受约束条件 限制的函数 ：

用 Indexed 指定向量变量的分量，如 ：

用常参数方程指定目标函数和约束条件的系数：

用常参数方程指定几个约束条件的系数：

使用向量变量：

最小化受约束条件 限制的函数 ：

需要的情况下用 Vectors[n] 指定向量变量的维度：

用 NonNegativeReals () 指定非负约束条件：

用向量不等式表示的等价格式：

用 NonPositiveReals () 指定非正约束条件：

用向量不等式表示的等价格式：

通过直接给出矩阵 、向量 和 最小化受约束条件 限制的 ：

用变量和不等式表示的等价格式：

用 Integers 指定整数域约束条件：

用 Vectors[n,Integers] 指定向量变量的整数域约束条件：

用 NonNegativeIntegers () 指定非负整数域约束条件：

用向量不等式表示的等价形式：

用 NonPositiveIntegers () 指定非正整数约束条件：

用向量不等式表示的等价形式：

用 Complexes 指定复变量：

最小化含有复变量和复约束条件 的实目标函数 ：

假定 ；将约束条件展开为实的分量，则有：

用复变量和复约束条件求解实目标函数：

用实变量和实约束条件求解同一问题：

最小化受约束条件 限制的函数 ：

获取向量形式的原始最小点：

获取最小值：

用符号输入获取原始最小值：

提取优化问题的矩阵-向量输入：

用矩阵-向量格式求解：

通过添加目标常数获取符号原始值：

求与最小化问题相关的松弛向量：

获取最小点和约束矩阵：

不等式约束条件 的松弛向量为满足 的向量 ：

等式约束条件 的松弛向量为满足 的向量 ：

等式的松弛向量 通常为零向量：

最小化受约束条件 和 限制的 ：

对偶问题为最大化受约束条件 和 限制的 ：

由于强对偶性，原始最小值和对偶最大值相同：

这相当于对偶间隙为零. 一般情况下，在最优值点 ：

用从原始问题中提取的约束矩阵构建对偶问题：

提取目标向量和约束矩阵：

对偶问题是最大化受约束条件 和 限制的 ：

用解的属性直接获取对偶最大值：

用解的属性直接获取对偶最大值点：

用 "ConstraintSensitivity" 求由约束松弛造成的最优值的变化：

第一个向量是不等式敏感性，第二个是等式敏感性：

考虑新的约束条件 ，其中 为松弛向量：

下面给出了新的最优值：

与直接求解约束松弛后的问题相比较：

每种敏感性都与不等式或等式约束条件相关：

提取约束条件：

不等式约束条件及相关的敏感性：

等式约束条件及相关的敏感性：

约束松弛引起的最优值变化与灵敏度值成正比：

计算最小值和约束条件敏感性：

如果敏感性为零，放宽约束条件不会改变最优值：

如果敏感性为负，放宽约束条件将会使最优值减小：

如果敏感性为正，放宽约束条件将会使最优值增大：

"ConstraintSensitivity" 与问题的对偶最大值点相关：

不等式敏感性 满足 ，其中 为对偶不等式的最大值点：

等式敏感性 满足 ，其中 为对偶等式的最大值点：

输入为 MachinePrecision 时默认方法是 "CLP"：

任意或无限 WorkingPrecision 情况下的默认方法是 "Simplex"：

所有方法都适用于 MachinePrecision 的输入：

"Simplex" 和 "RevisedSimplex" 可被用于任意精度和无限精度的输入：

不同的方法有不同的优势，这通常取决于问题及怎样进行优化：

"Simplex" 和 "RevisedSimplex" 适用于规模小且密集的问题：

"InteriorPoint" 和 "CLP" 适用于规模大且稀疏的问题：

"InteriorPoint" 或 "CLP" 方法可能无法判别问题是不可行的还是无界的：

"Simplex" 和 "RevisedSimplex" 可以探测出无界或不可行问题：

如果问题的最优解不是唯一的，不同的方法可能会给出不同的结果：

"InteriorPoint" 可能返回最优解集中间位置处的解：

"Simplex" 总是返回最优解集边角处的解：

Tolerance 的设置越小给出的结果越精确：

指定约束矩阵：

求使用不同的 Tolerance 设置时计算值和精确最小值 之间的误差：

可视化最小值误差随容差变化的情况：

Tolerance 的设置越小给出的答案越精确，但通常情况下要花费更多的时间进行计算：

小的容差将花费更多时间进行计算：

更严格的容差给出更精确的答案：

LinearOptimization 根据输入推断要使用的 WorkingPrecision：

MachinePrecision 输入给出 MachinePrecision 输出：

LinearOptimization 可使用更高的工作精度计算结果：

如果指定的精度小于输入参数的精度，系统会发出一条消息：

最大化受约束条件 限制的 . 对目标函数取负求解最大化问题：

对原始最小值取负获取相应的最大值：

用 和 将 转换为线性函数：

用 和 将 转换为线性函数：

最小化受约束条件 限制的 . 用 将 转换为线性函数：

也可用 对问题进行转换：

最小化受约束条件 限制的 . 约束条件可被转换为 ：

最小化受约束条件 限制的 . 约束条件 可被解释为 . 根据每个约束条件对问题进行求解：

最优解为两个解中最小的那一个：

最小化受约束条件 限制的 ，其中 是一个非递减函数，因而可代之以最小化 . 对于两个问题，原始最小点 将保持不变. 考虑最小化受约束条件 限制的 ：

通过将函数 应用于原始最小值即可获得真正的最小值：

最小化 ，约束条件为 ：

由于 , 在 的情况下求解问题：

通过将函数 应用于原始最小值即可获得真正的最小值：

通过最小化 求离散数据的稳健线性拟合. 使用辅助变量 ，问题被转换为最小化受约束条件 限制的 ，这是一个线性优化问题：

拟合数据：

绘图显示它对异常值很稳健：

与用 LeastSquares 获取的拟合进行比较：

通过最小化 求线性拟合，拟合曲线应穿过第一个数据点：

通过添加约束条件 a〚1〛.xb〚1〛，强制曲线穿过第一个数据点：

绘图显示穿过了第一个数据点，同时依然是一个稳健的拟合：

通过最小化 求非线性离散数据的稳健拟合. 生成一些噪音数据：

用基础函数 拟合数据. 逼近函数为 ：

求逼近函数的系数：

可视化拟合曲线：

将近似模型与参考和最小二乘拟合进行比较：

通过最小化 求离散数据的线性拟合. 由于 ，通过引入标量辅助变量 ，可将问题转换为最小化受约束条件 限制的 ：

拟合数据：

曲线表示的是 "best-worst case" 拟合：

可直接用函数 Fit 计算系数：

求分隔两组点 和 的直线 ：

对于此分隔问题，第 1 组必须满足 ，第 2 组必须满足 ：

分隔线为：

求分隔两组点 和 的二次多项式 ：

对于此分隔问题，第 1 组必须满足 ，第 2 组必须满足 ：

二次多项式的系数为：

二次多项式为：

求能分隔平面上两组点的次数最小的多项式：

定义一个多项式幂函数，避免 或 为 0 时出现问题：

定义一个函数，给出次数为 的多项式，系数 为 的函数：

次数 的变量为系数：

约束条件确保第 1 组点和第 2 组点分隔：

例如，二次式的约束条件为：

对于此分隔问题，唯一的条件是必须满足所有的约束条件. 将目标向量设置为 0：

求分隔多项式，并绘制多项式和点：

找到能使公司利润最大化的产品的组合. 公司制造三种产品，下面给出了每个产品制造一件的成本和收入以及最大制造能力：

每种产品要使用四台机器组合制成，机器在每种产品上花费的时间是：

利润等于收入减去成本乘以产品 的数量 ：

每台机器每周最多最多可以运行 2400 分钟：

公司制造每种产品的件数为从 0 到最大制造能力：

最优产品组合为：

所得利润为：

每种产品的加工时间细分为：

同一家公司希望找出改变哪些产品的产能会对利润造成最大的影响. 以前制定的最佳产品组合和利润由下式给出：

以目前的产能算出的利润为：

提取分析产能变化对利润影响所需的所有数据：

灵敏度给出了利润相对于每个约束条件的导数. 提取有敏感性的约束条件：

从 中提取敏感性约束条件：

如果提高产品 3 的产能，利润应有所提高：

由此带来的利润增长：

这与根据灵敏度预测的增长完全一致：

如果改变产品 1、产品 2 的产能或同时改变两种产品的产能，利润不会增长：

找出可以使公司利润最大化的产品组合. 公司制造三种产品 . 每种产品的营收为：

工厂只生产 100 天. 分别需要 天来制造每种产品：

每种产品都包含金和锡. 可用的金和锡的总量分别为 30 和 200 个单位：

如果制造一种产品，公司需支付相应的设置费用：

由于相对较高的设置成本，可能希望根本不生产某些产品. 令 为决策变量，如果生产产品 ，，否则 . 限制 确保如果 为 0，则 也为 0，不必对 作出比其他限制条件更严格的限制：

目标是最大化利润：

最佳组合为：

John Connor 得知 Skynet 计划攻击五个定居点. 他需要将士兵从三个大本营部署到定居点以应对威胁. 将一名士兵从大本营 运送到定居点 的燃料费用是：

令 表示从大本营 运往定居点 的士兵人数. 要最小化的成本函数是：

每个大本营可最多分配 100 名士兵到各个定居点：

每个定居点需要至少 50 名来自各个大本营的士兵：

从每个大本营部署到每个定居点的士兵人数为：

每个大本营的士兵部署情况如下：

Jedi Order 正在与 Dooku 领导的分离主义军队作战. Dooku 和他的两位将军，Asajj Ventress 和 Grievous 将军袭击了三个外围殖民地. Jedi Order 命令三名 Jedi 去帮助外围殖民地. 设 为 Jedi 击败 Sith 的几率：

设 为矩阵变量，其中如果 Jedi 与 Sith 作战， 为 1，否则为 0. 成本函数为由 给出的预期的失败次数，用 Inactive[Times] 来构建：

由于外部殖民地相距很远，每个 Jedi 只能被分配与一个 Sith 作战，反之亦然. 同时，由于 为 0 或 1，则有 ：

找出合适的 Jedi 来与 Sith 作战，以尽量减少失败的可能性：

这意味着 Obi-Wan Kenobi 被派往与 Grievous 将军对战，Mace Windu 被派往与 Asajj Ventress 对战，Ki-Adi-Mundi 则与 Dooku 对战. 预期的失败次数是：

求解两个组 和 之间的二分匹配问题，最小化总权重：

设 为矩阵变量，其中，当 与 匹配时， 为 1，否则为 0. 匹配的总权重由 给出，用 Inactive[Times] 来构建：

的行的和与列的和需为 1 且 ：

用 LinearOptimization 求解问题：

可以通过将矩阵 转换为图来提取匹配置换. Round 用于对由某些方法中的数值错误引起的较小的值进行截断：

使用邻接图来构建二分图：

求为最小化成本零售店每周必须为产品 订购的库存. 设 为第 周开始时可用的库存， 为第 周开始时批发商收到的订单. 从批发商处购买一件产品的成本是 $3：

持有多余或负库存的成本为每件产品 $1. 库存成本为 ，它不是线性的，但可用 来表示：

要最小化的总成本为 ：

设 为第 周开始时的需求. 52 周的总需求为 ，. 商店的库存按 演化：

在第 0 周，持有的库存为 ，订单为 . 商店每周向批发商订购的数量不得超过 10 件：

通过最小化成本求商店应持有的最佳库存和应向批发商订购的数量：

下面是库存、订单和需求的绘图，显示在第 26 周之后，商店不需要任何库存，因此最大限度地降低了库存成本：

求零售店每周必须为产品 订购的库存，在不出现延期交货的情况下最小化成本. 设 为第 周开始时批发商收到的订单. 从批发商处购买一件产品的成本是 $3：

持有多余或负库存的成本为每件产品 $1：

设 为第 周开始时的需求. 52 周的总需求为 ，. 商店的库存按 演化：

开始时的库存为 、，商店一次向批发商订购的最大数量为 10 件：

公司希望确保不出现延期交货的情况，即 ：

通过最小化成本求商店应持有的最佳库存和应向批发商订购的数量：

下面的绘图显示为避免出现延期交货的情况，必须在开始的几周购买多余的产品以满足需求. 商店从第 20 周到第 21 周期间开始没有库存费用：

最小化受到压迫力和位移约束的双梁桁架的重量：

重量为 ，其中 为密度， 和 为杆件 1 和 杆件 2 的横截面面积. 此处假定 ：

作用于杆件 1 和 杆件 2 的轴上的力为：

压迫力 ，其中 为作用于杆上的力，必须小于指定的压迫力 ：

自由节点处的位移为 . 此位移沿杆件的轴的分量必须等于位移 ，其中 为杨氏模量：

自由节点的垂直位移必须小于给定的 ：

使用的材料是铝. 设计参数是：

计算杆件的最小重量和最优横截面面积：

求桁架重量不超过 180 kg 的角度和长度的范围：

最小化受到压迫力和位移约束的双梁桁架的重量，并找到对桁架设计有重大影响的约束条件：

重量为 ，其中 为密度， 和 为杆件 1 和 杆件 2 的横截面面积. 此处假定 ：

由于作用在杆件上的力而产生的约束条件是：

使用的材料是铝. 设计参数是：

通过求杆件的最佳横截面积 来最小化桁架的重量：

较大的约束灵敏度值表示对设计的影响更大：

影响设计的关键约束条件是作用于杆件 1 上的力的约束条件 ：

最小化受非线性约束条件 限制的非线性函数 . 可将 近似为 ，将约束条件 近似为 . 这样我们就得到了一个可以迭代求解的线性最小化问题. 考虑下面这种情况，其中 ，：

最小化函数和约束条件的梯度是：

子问题是通过最小化受约束条件 限制的 来求 ：

从初始猜测 开始进行迭代. 下一步为 ，其中 是确保始终满足约束条件的步长：

可视化结果收敛的情况. 最终结果为绿色的点：

求解以下数独谜题：

设 为子方格 的变量. 设 为向量 的元素 . 时， 中的数字为 . 每个 只含有一个数字，所以 只能含有一个非零元素，即 ：

每一行必须含有所有数字，即 ，其中 是 1 的九维向量：

每一列必须含有所有数字，即 ：

每个 3×3 的子方格必须含有所有数字，即 ：

总而言之，这些共同构成了数独谜题的约束条件：

收集所有变量：

将已知值转换为约束条件. 如果子方格 含有数字 ，则 ：

求解谜题：

可视化结果：

通过随机指定第一行来生成随机数独板. 根据上述过程定义一个求解器函数：

随机生成第一行：

找到可行的解，然后与初始布局进行比较：

随机生成一个题板，并一次删除一个元素以生成数独谜题. 定义解决数独难题的函数. 如果在数独题板上指定了负数，则该函数假定不允许在该位置上出现这样的数字：

随机指定题板的第一行，生成随机参考数独题板：

指定保留的最少的元素个数：

一次从题板上删除一个随机选择的元素，重复进行，直到为了保持解的唯一性不能再删除更多元素. 通过解数独难题来测试删除，条件是删除的元素不能取删除的数字. 如果找到可行的解，则该位置上的数字不是唯一的，将保留该元素；否则，将其从题板上移除：

可视化所得谜题：

求解所得谜题，并与参考谜题相比较：

求为图的节点着色所需的最小颜色数量，以使两个相邻节点的颜色不同. 从足够多的颜色开始：

生成随机图：

提取与图关联的邻接矩阵. 由于矩阵是对称的，因此仅使用矩阵的上三角部分：

设 为一个矩阵，如果为节点 分配了颜色 ，则 . 令 为一个向量，如果最后使用了颜色 ，则 . 必须为每个节点分配一个颜色：

如果两个节点共享一条边，则不能为它们分配相同的颜色：

如果为节点 分配了颜色 ，则在最后的集合中使用颜色 ：

矩阵 和向量 为二元变量：

求解图的着色问题：

使用的颜色的最少数量为：

对图着色：

求医院急诊室必须待命的医生的最佳组合，以便急诊室可以完成一系列手术. 每位医生只能完成一定数量的手术：

保持每个医生待命的费用为：

令 为决策变量，如果医生 待命则 . 目标是最小化成本：

至少需要一名医生完成手术 ：

求待命医生的组合：

给出一个包含六个区的城市必须建立的最佳消防站数量，以使每个区 15 分钟之内至少有一个消防站. 在各区之间行驶所需的时间为：

令 为决策变量，如果在城区 建消防站则 . 目标是最小化消防站的数量：

每个区 15 分钟内必须至少有一个消防局：

求应该建消防局的区：

求公司需要建立的最少数量的配送仓库，以便为六个零售商店配送货物. 该公司选择了五个可能的地点. 每个仓库为每个商店配送货物的成本为：

每个仓库的建设和运营成本为：

令 为决策变量，如果要建造仓库 则 . 令 表示仓库 提供给商店 的商品份额. 目标是最小化成本：

仓库 必须将所有货物供给所选商店：

求应该建造哪五个仓库：

给出将建造的五个仓库：

找到一条推销员应选的穿过 个城市的路径，只访问每个城市一次，最小化行走的距离. 生成位置：

令 为城市 和城市 之间的距离. 令 为决策变量，如果 ，则路径从城市 到城市 ，目标是最小化距离：

推销员只能从一个城市到达，只能去往一个城市：

推销员不能到达一个城市并去往同一个城市：

推销员必须一次访问所有城市：

决策变量是一个二元变量，虚拟变量为 ：

求距离最小的路径：

提取路径：

走过的距离为：

用 FindShortestTour 来求解旅行商问题要更高效：