4×4 对称托普利兹矩阵：

带有符号项的 4×4 对称托普利兹矩阵：

首列为 {c₁,…}、首行为 {c₁,r₂,…} 的托普利兹矩阵：

生成机器数的托普利兹矩阵：

生成 20 位精度的托普利兹矩阵：

具有复数项的托普利兹矩阵：

矩形托普利兹矩阵：

托普利兹矩阵的常用符号表示法：

生成一个结构化的托普利兹矩阵：

结构化表示通常使用较少的内存：

ToeplitzMatrix 对象包括提供有关数组信息的属性：

"ColumnVector" 属性给出托普利兹矩阵的第一列：

"RowVector" 属性给出托普利兹矩阵的第一行：

"Summary" 属性给出关于数组信息的简要总结：

"StructuredAlgorithms" 属性列出具有结构化算法的函数：

在适当的时候，结构算法返回另一个 ToeplitzMatrix 对象：

其转置也是 ToeplitzMatrix：

托普利兹矩阵与其转置的乘积不再是托普利兹矩阵：

将稠密托普利兹矩阵转换为结构化托普利兹矩阵：

定义一个从向量构造循环矩阵的函数：

将循环矩阵与向量相乘可以表示为循环卷积：

将向量与循环矩阵相乘可以表示为循环相关：

循环矩阵可以通过傅立叶矩阵对角化：

生成的对角矩阵的对角元素与傅立叶矩阵和起始向量的乘积相同，直至一个常数缩放因子：

具有符号项的托普利兹矩阵：

托普利兹矩阵的逆矩阵可以仅根据逆矩阵的第一列和最后一列来确定. 使用 LinearSolve 计算逆矩阵的第一列：

计算逆矩阵的最后一列：

托普利兹矩阵的逆的 Gohberg–Semencul 公式使用第一列和最后一列来组成完整的逆矩阵：

验证逆矩阵：

定义一个三对角托普利兹矩阵：

显示 4×4 的情形：

对于前几种情况，用第二类切比雪夫多项式验证特征多项式的表达式：

三对角托普利兹矩阵可以通过 1 类离散正弦变换矩阵的对角重新缩放来对角化：

将 Kac–Murdock–Szegő (KMS) 矩阵定义为 ToeplitzMatrix：

KMS 矩阵是对称的托普利兹矩阵：

KMS 矩阵是一阶自回归过程（即 AR(1) 过程）的相关矩阵：

KMS 矩阵的逆矩阵是一个三对角矩阵：

KMS 矩阵的特征多项式可以用第二类切比雪夫多项式表示：

将 Parter 矩阵定义为 ToeplitzMatrix：

Parter 矩阵既是托普利兹矩阵又是柯西矩阵：

Parter 矩阵的主奇异值聚集在 周围：

长球波矩阵（prolate matrix）是一个对称正定托普利兹矩阵，出现在多锥功率谱密度估计中：

可视化长球波矩阵（prolate matrix）的项：

条件数随 n 呈指数增长：

2-范数条件数是由于对称性而导致的最大特征值与最小特征值之比：

2012 年 5 月至 2012 年 9 月欧元兑美元每日汇率：

可视化该数据：

通过求解 Yule-Walker 方程，将 3 阶自回归过程 (ARProcess) 拟合到汇率：

相同的结果可以从 EstimatedProcess 得到：

从幂级数系数可以得到函数 关于点 x=x₀ 的 阶帕德（Padé）近似. 定义函数、分子和分母度数以及展开点：

生成 阶幂级数的系数：

分母的系数可以通过求解由幂级数系数构造的托普利兹系统来获得：

分子的系数可以通过将分母系数向量与由幂级数系数构造的托普利兹矩阵相乘来获得：

组装帕德近似值：

与 PadeApproximant 的结果比较：

生成 个变量的前几个带符号初等对称多项式：

生成 个变量的前几个幂和：

验证牛顿-吉拉德公式 [MathWorld] ，这些公式涉及幂和与初等对称多项式：

将 Ching 矩阵定义为 ToeplitzMatrix：

Ching 矩阵是一个下黑森贝格 0-1 矩阵（矩阵的项是零或一，并且在第一个上对角线之上是零）：

n 阶 Ching 矩阵的行列式等于第 n 个斐波那契数，且给出所有较低的黑森贝格 0-1 矩阵的行列式的上界：

大小为 的托普利兹矩阵的行列式为 ：

具有零填充的循环 ListConvolve 等效于与下三角托普利兹矩阵相乘：

具有零填充的循环 ListCorrelate 等价于与上三角托普利兹矩阵相乘：

如果 c₁ 是实数，则 ToeplitzMatrix[{c₁,c₂,…}] 为埃尔米特矩阵：

具有所有实特征值：

可由酉矩阵对角化：

ToeplitzMatrix 和 HankelMatrix 通过与交换矩阵（反向单位矩阵）相乘来关联：

等效地，转置托普利兹矩阵得到汉克尔矩阵：

当 r₁ 与 c₁ 不同时，使用 c₁ 的值并忽略 r₁：

可视化托普利兹矩阵的项：