最小化受约束条件 限制的 ：

可用 VectorGreaterEqual:表示几个线性不等式约束条件：

用 v>= 或 \[VectorGreaterEqual] 输入向量不等式符号 ：

用标量不等式表示的等价形式：

使用向量变量 ：

因为 中的 threading，不等式 与 可能并不等价：

为了避免 中无意的 threading，可使用 Inactive[Plus]：

用恒定参数方程避免对 作用时出现不想要的组合：

VectorGreaterEqual 表示相对于的 "NonNegativeCone" 锥不等式：

为了明确指定锥的维度，请使用 {"NonNegativeCone",n}：

求解：

最小化受约束条件 限制的 ：

用含有 "NormCone" 的锥不等式指定约束条件 ：

求解：

最小化受正半定矩阵约束条件 限制的 :

求解：

用向量变量 和 Indexed[x,i] 指定单个分量：

用 Vectors[n] 在未明确给定时指定向量变量的维度：

用 NonNegativeReals () 指定非负约束条件：

用向量变量 给出等价形式：

用 Integers 指定整数域约束：

用 Vectors[n,Integers] 在向量变量上指定整数域约束：

用 NonNegativeIntegers () 指定非负整数域约束：

用 NonPositiveIntegers () 指定非正整数域约束：

用 Complexes 指定复变量：

最小化含有复变量和复约束条件 的实目标函数 ：

令 ，将约束条件展开为实的分量，则有：

用复变量和复约束条件求解实目标函数：

用实变量和实约束条件求解同一问题：

将二次约束条件 与厄米特矩阵 和实变量一起使用：

在含有复变量的约束条件 中使用厄米特矩阵 ：

将线性矩阵不等式约束条件 与厄米特矩阵或实对称矩阵一起使用：

线性矩阵不等式中的变量需为实数，才能使得和依然为厄米特矩阵：

在三角形 和圆盘 的相交部分上最小化 ：

获取向量形式的原始最小值点：

获取最小值：

绘制解：

提取目标向量：

提取锥约束条件：

提取锥约束条件中的锥规范 ：

提取锥约束条件中的锥维度 ：

提取锥约束条件中的仿射变换列表 ：

不等式 在最小值点 处的松弛向量由 给出：

提取最小值点和锥约束条件中的仿射变换列表：

验证松弛向量满足 a_j.x^*+b_j-s_j=0 时 s={s₀,…,s_k}：

一些作者将标准形式的圆锥优化问题定义为在满足 和 情况下使 最小化. 要转换为标准格式，请为每个圆锥约束 ，添加一个变量 相应的线性相等约束 ：

提取目标向量，圆锥约束仿射列表和圆锥规格：

松弛约束 与 相同：

形成线性等式约束 ：

解决转换后的标准格式圆锥问题：

"Slack" 属性使您无需进行实际转换即可获取 的值：

最小化受约束条件 和 限制的 ：

对偶问题为最大化受约束条件 限制的 ：

由于强对偶性，原始最小值和对偶最大值相同：

这相当于对偶间隙为零. 一般情况下，在最优值点 ：

用从原始问题中提取的系数构建对偶问题：

提取目标向量和约束条件中的仿射变换列表：

获取 和 ：

对偶问题为最大化受约束条件 限制的 ：

用解的属性直接获取对偶最大值和对偶最大值点：

可用下式获取 "DualMaximizer"：

对偶最大值点向量分割与对偶锥的个数和维度相匹配：

求由约束条件扰动造成的最优值的变化：

计算 "ConstraintSensitivity"：

考虑新的约束条件 ，其中 为扰动：

估计新的最优值为：

与直接求解扰动后的问题所得结果相比较：

最优值根据灵敏度元素的符号而变化：

在灵敏度为负的元素处，正的扰动将会使最优值减小：

在灵敏度为正的元素处，正的扰动将会使最优值增大：

也可以通过对偶最大值点的负值获取对约束条件的灵敏度：

"SCS" 使用 splitting conic solver 方法：

"CSDP" 是求解半定问题的内点法：

"DSDP" 是另一种求解半定问题的内点法：

"IPOPT" 是求解非线性问题的内点法：

不同的方法具有不同的默认容差，这会影响准确性和精度：

计算精确解和近似解：

"SCS" 的默认容差为 ：

"CSDP"、"DSDP" 和 "IPOPT" 的默认容差为 ：

如果指定了方法 "SCS"，将使用默认容差为 10^-3 的 SCS 库：

使用容差为 10^-6 的 "SCS" 方法求解下面的问题：

对于半定约束条件使用 "CSDP" 或 "DSDP" 方法：

用 "CSDP" 方法求解问题：

用 "DSDP" 方法求解问题：

在 "CSDP" 和 "DSDP" 方法不适用的情况下使用 "IPOPT" 方法获取准确的解：

"IPOPT" 给出的结果比 "SCS" 更准确，但是通常要慢一些：

与 "SCS" 方法所用时间相比较：

PerformanceGoal 选项的默认值为 $PerformanceGoal：

用 PerformanceGoal"Quality" 获取更准确的结果：

用 PerformanceGoal"Speed" 可更快获得结果，但要以质量为代价：

比较用时：

"Speed" 设置给出的结果的准确性较低：

Tolerance 的设置越小给出的结果越精确：

用 Minimize 计算精确最小值：

计算 Tolerance 设为不同值时最小值的误差：

可视化最小值误差随容差的变化：

Tolerance 的设置越小给出的答案越精确，但通常情况下要花费更多的时间进行计算：

小的容差将花费更多时间进行计算：

更严格的容差给出更精确的答案：

最大化受约束条件 限制的 . 对目标函数取负求解最大化问题：

对原始最小值取负获取相应的最大值：

在圆心位于 、半径为 的圆盘上最小化 . 将目标函数 转换为线性函数 ，额外限制条件为 ，等价于 ：

也可用 Norm 表示圆盘约束条件：

在正五边形上最小化 . 用 将目标函数转换为线性函数，额外限制条件为 ：

最小化 . 通过使用辅助变量 ，目标函数被转换为最小化受约束条件 限制的 ：

最小化受约束条件 限制的 . 通过使用两个辅助变量 ，将问题转换为最小化受约束条件 限制的：

最小化 . 通过使用辅助变量 ，将问题转换为最小化受约束条件 限制的 ：

最小化受约束条件 限制的 ，其中 为非递减函数，因而可代之以最小化 . 对于两个问题，原始最小值点 将保持不变. 考虑最小化受约束条件 限制的 ：

通过将函数 应用于 的最小值即可获得真正的最小值：

在圆心位于 、半径为 的圆盘上最小化 . 通过使用辅助变量 ，目标函数被转换为最小化受额外约束条件 限制的 ：

当且仅当 时，约束条件 等价于指数锥约束条件 ：

在圆心位于 、半径为 的圆盘上最小化 . 通过使用辅助变量 ，将问题转换为最小化受约束条件 限制的 ：

约束条件 等价于 . 可用 "PowerCone" 通过 来表示：

求最小化 的 ：

通过使用辅助变量 ，将问题转换为最小化受约束条件 限制的 ：

可用 "PowerCone" 约束条件来表示. 因为当且仅当 时 ，用 限制 ，其中 给出 ：

求最小化对称矩阵的最大特征值的 ，该特征值线性依赖于决策变量 ，. 可将该问题表述为线性矩阵不等式，因为 等价于 ，其中 是 的第 个特征值. 对于线性矩阵函数 ：

可用正交矩阵 将实对称矩阵 对角化，以使得 . 因而当且仅当 时 . 由于任一 ，取 ，，因而当且仅当 时 . 进行数值仿真以表明这些式子是等价的：

得到的问题：

运行蒙特卡罗仿真以检查结果的合理性：

最小化受约束条件 限制的 ，当 时假定 . 通过使用辅助变量 ，目标函数变为最小化 以使得 :

检查 是否意味着 ：

舒尔补条件表明如果 ，则当且仅当 时分块矩阵 . 因此当且仅当 时 . 用 Inactive Plus 来构建约束条件以避免 threading：

对于二次集合 ，其中包括椭球、二次锥体和抛物面，确定 是否成立， 其中 为对称矩阵， 为向量， 为标量：

假定集合 _i 为全维 (full dimensional) 集合，S-procedure 表明当且仅当有一些非负数 存在使得 成立时 才成立. 图示有非负数 存在：

由于 λ≥0，因而有 ：

最小化受约束条件 限制的 ：

通过使用辅助变量 ，转换后的目标函数为最小化受约束条件 限制的 ：

用三次曲线拟合离散数据，以使数据的第一个和最后一个点位于曲线上：

用 DesignMatrix 构建矩阵：

定义约束条件，以便第一个和最后一个点必须位于曲线上：

通过最小化 求系数 . 通过使用辅助变量 ，转换后的目标函数为最小化受约束条件 限制的 ：

比较拟合曲线与数据：

通过最小化 求非线性离散数据的鲁棒拟合：

以 为基础拟合数据. 插值函数为 ：

由于 ，因此使用辅助变量 . 问题被转换为最小化受约束条件 限制的 ：

可视化拟合曲线：

比较插值函数与参考函数：

用平方和多项式 表示给定多项式 ：

目标是求使得 成立的 ，其中 为单项式向量：

构建对称矩阵 ：

求 与 的多项式系数，并确保它们是相等的：

求 的元素：

二次项 ，其中 是对 进行 Cholesky 分解所得的下三角矩阵：

比较平方和多项式与给定多项式：

通过最小化 （ 为复数）求复数数据的 正则化拟合：

用 DesignMatrix 构建矩阵 ，对于基 ：

求系数 ：

令 为被定义成是 的实部和虚部的函数的拟合：

可视化 的实部：

可视化 的虚部：

求圆心位于 和 、半径为 1 的两个圆盘之间的最小距离. 令 为第一个圆盘上的点. 令 为第二个圆盘上的点. 目标是最小化 . 通过使用辅助变量 ，转换后的目标函数为最小化受约束条件 限制的 ：

图示两个点的位置：

辅助变量 给出了两个点之间的距离：

求包含给定区域的最小包含球的半径 和圆心 ：

最小化受约束条件 限制的 ：

图示该包含球：

可用 BoundingRegion 高效求出最小包含球：

找到分隔两个非相交凸多边形的平面：

令 为 上的一个点. 令 为 上的一个点. 目标是最小化 . 通过使用辅助变量 ，转换后的目标函数为最小化受约束条件 限制的 ：

根据分隔超平面定理，与约束条件 相关的对偶问题将给出超平面的法线：

与 "NormCone" 相关的对偶为：

可用以下方式构建超平面：

可视化分隔两个多边形的平面：

求参数化为 的可被放进凸多边形的面积最大的椭圆：

凸多边形的每个线段可被表示为半平面 相交的地方. 提取线性不等式：

对半平面应用参数化给出 . 项 . 因此，约束条件为：

最小化面积等价于最小化 ，相当于最小化 ：

将参数化椭圆转换为显式形式 ：

求凸多边形的 analytic center. analytic center 是能最大化到限制边界的距离的乘积的点：

凸多边形的每个线段可被表示为半平面 相交的地方. 提取线性不等式：

目标是最大化 . 对目标函数取 并取负，转换后的目标函数为 ：

通过使用辅助变量 ，转换后的目标函数为最小化受约束条件 限制的 ：

可视化中心的位置：

求分隔两组点 和 的直线 ：

对于此分隔问题，第 1 组点必须满足 ，第 2 组点必须满足 ：

目标是最小化 ，它给出的是 和 之间距离的两倍. 通过使用辅助变量 ，目标函数被转换为约束条件 ：

分隔线为：

求分隔两组 3D 点 和 的二次多项式：

用 DesignMatrix 构建两组点的二次多项式数据矩阵：

对于此分隔问题，第 1 组必须满足 ，第 2 组必须满足 ：

通过最小化 找出分隔多项式. 通过使用辅助变量 ，转换后的目标函数为最小化受额外约束条件 限制的 ：

分隔两组点的多项式为：

绘制分隔两个数据集的多项式：

将给定的点集 分成不同的组. 可通过最小化 找出每组的中心 来完成，其中 是给定的局部核， 是给定的惩罚参数：

核 为使得 ，否则 成立的 -近邻 () 函数. 对于此问题，选择 ：

通过使用辅助变量 ，目标函数被转换为最小化受约束条件 限制的 ：

求各组的中心：

每个数据点都有一个相应的中心. 属于同一组的数据将具有相同的中心值：

提取并绘制各组点：

最小化受约束条件 , 和 限制的 ：

可使用梯形法近似要最小化的函数积分. 离散目标函数变为受额外约束条件 限制的 ：

可用有限差分离散化 中的时间导数：

可用 Indexed 指定初始约束条件 ：

通过使用辅助变量 ，目标函数被转换为最小化受约束条件 限制的 ：

将离散化结果转换为 InterpolatingFunction：

绘制控制变量：

绘制状态变量. 状态变量尝试并跟踪函数 ：

求服务位于 的客户所需的各种基站 的位置和范围 ：

每个基站消耗的功率与其范围成正比，由 给出. 目的是最大程度地降低功耗：

令 为决策变量，如果客户 被基站 覆盖，则用 表示：

每个基站必须位于能覆盖一些客户的位置：

每个基站可覆盖多个客户：

每个基站都有最小和最大覆盖范围：

收集所有变量：

给出基站的位置及覆盖范围：

提取基站的位置和范围：

可视化基站相对于客户所处地点的位置和范围：

找到资本 的分布以投资六只股票，以在最大程度地降低风险的同时最大化回报：

收益由 给出，其中， 是每只股票的预期收益值的向量：

风险由 给出； 是风险规避参数，且 ：

目的是在使特定风险规避参数的风险最小化的同时，最大化回报率：

由股票买卖引起的对股票市场价格的影响可以通过 建模，该模型由幂锥建模，使用题词转换：

权重 必须都大于 0，并且权重加上市场影响成本必须相加为 1：

为一系列风险规避参数计算收益和相应的风险：

在 范围内的最优 给出了收益和风险之间权衡的上限：

计算指定数量的风险规避参数的权重：

通过考虑市场成本，可以获得低风险规避的分散投资组合，但是当风险规避较高时，由于购买分散程度较低的股票，市场影响成本占主导地位：