WOLFRAM

Wolfram言語 ＆ システム ドキュメントセンター
Wolfram言語ホームページ »

Cumulant
✖
Cumulant

更新 14.1

✖
Cumulant[data,r]

data の r 次キュムラント を与える．

✖
Cumulant[data,{r1,…,rm} ]

data の{r1,…,rm}次多変量キュムラント を与える．

✖
Cumulant[dist,r]

分布 dist の r 次キュムラントを与える．

✖

r 次の形式的なキュムラントを表す．

詳細

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (3)基本的な使用例

データからキュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-f0ggsc
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-dudm5g
Out[2]=2

記号データについて：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-gxtui7
Out[3]=3

日付のリストのキュムラント：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cbohkf
Out[1]=1

一変量連続分布の二次キュムラント を計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bevf1f
Out[1]=1

多変量分布のキュムラント ：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cxw7al
Out[2]=2

スコープ  (26)標準的な使用例のスコープの概要

基本的な用法  (6)

厳密な入力は厳密な出力を与える：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ug7y2
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bcry2t
Out[2]=2

近似入力は近似出力を与える：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-h8nmns
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-nd4o47
Out[2]=2

WeightedDataのキュムラントを求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-d0wc9z
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ivp7e5
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-u6rq8
Out[3]=3

EventDataのキュムラントを求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bailc9
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-kiu0rh
Out[2]=2

TimeSeriesのキュムラントを求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-hf056t
Out[1]=1

キュムラントは値のみに依存する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ikztk4
Out[2]=2

数量を含むデータについてのキュムラントを求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-jopin9
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-e8c21s
Out[2]=2

配列データ  (5)

Cumulantは，行列に対しては列ごとの平均を与える：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ezu2uz
Out[1]=1

Cumulantは，配列に対しては第1レベルの列ごとの平均を与える：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-lw96ov
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-czorlm
Out[3]=3

大きい配列に使うことができる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-nknun
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ma3v2m
Out[2]=2

入力がAssociationのとき，Cumulantはその値に作用する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cs7n5q
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-rvy4yi
Out[2]=2

SparseArrayデータは密な配列のように使うことができる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-n691tv
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-drrysl
Out[2]=2

配列の多変量キュムラントをその生のモーメントについて計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-jl6ij0
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-n8wnnw
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-j2ne58
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-5a4ok
Out[4]=4
In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-dre96
Out[5]=5

画像データと音声データ  (2)

RGB画像のチャンネルごとのキュムラント：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-hfby9q
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-phlz4o
Out[2]=2

グレースケール画像のキュムラント強度値：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ue2gq5
Out[3]=3

Cumulantは，音声オブジェクトに対してはチャンネルごとに作用する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-nq1jnz
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-mjmudf
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bs38vd
Out[3]=3

日付と時間  (4)

日付のキュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-b1smxx
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-pa4nmn
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-uok1il
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-wxuq26
Out[4]=4

日付の重み付きキュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-c98kbd
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-8c1had
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-t71b2h
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-5zgepo
Out[4]=4

単純なキュムラントで計算する：

In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-mwawn9
Out[5]=5
In[6]:=6
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-m80jpr
Out[6]=6

異なる暦で与えられた日付のキュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-wbzcuv
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-9ius88
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-rszscv
Out[3]=3

時間のキュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-et9bla
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ztsexm
Out[2]=2

異なる時刻帯指定の時刻のリスト：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-mrqghz
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-1d7sk5
Out[4]=4

分布キュムラントと過程キュムラント  (5)

一変量分布のスカラーキュムラント：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-rxz55
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-hbq28j
Out[2]=2

多変量分布のスカラーキュムラント：

In[9]:=9
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-eslrsh
Out[9]=9
In[11]:=11
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-g0336f
Out[11]=11

多変量分布の結合キュムラント：

In[12]:=12
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ek075b
Out[12]=12
In[13]:=13
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-lzwoz3
Out[13]=13

記号次数 r についてのキュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-koyugv
Out[1]=1

キュムラントは特定の次数についてしか評価できないことがある：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-istr9m
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-rwrvm
Out[3]=3

キュムラントは数値的にしか評価できないことがある：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ln020
Out[4]=4
In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-b4qrwr
Out[5]=5

派生分布についてのキュムラント：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-rgc72x
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ce4mx4
Out[2]=2

データ分布について：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-215ry
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-fq5ptk
Out[4]=4

ランダム過程についてのキュムラント関数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ce9dln
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-dbfsuo
Out[2]=2

時点 t=0.5におけるTemporalDataのキュムラントを求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-jfiydh
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cnazd
Out[2]=2

対応するキュムラント関数をすべてのシミュレーションとともに求める：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bdty7n
Out[3]=3

形式的なキュムラント  (4)

形式的なキュムラントのTraditionalFormによる表示：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ez91l8
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cokql

形式的なモーメントの組合せをCumulantを含む式に変換する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-gbzg9e
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cbig0x

分布についての形式的なキュムラント TemplateBox[{1}, Cumulant]+TemplateBox[{2}, Cumulant]を含む式を評価する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-s71uv
Out[1]=1

データについて評価する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-h4q6jr
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bopqg9
Out[3]=3

Cumulantを含む式についてのサンプル推定量を求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-e37p0r
Out[1]=1

結果の推定量をデータについて評価する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-h5ch1j
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-b6huwv
Out[3]=3

アプリケーション  (5)この関数で解くことのできる問題の例

キュムラント法を使って分布母数を推定する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-g1da51
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-qjiwst
Out[2]=2

大数の法則にはサンプルサイズが大きくなるにつれてサンプルモーメントは母集団のモーメントに近付くとある．Histogramを使い，さまざまなサンプルサイズについて，標準正規確率変量のサンプルキュムラント の確率分布を示す：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-geqb9
Out[1]=1

次数 のエッジワース(Edgeworth)の展開：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bcw9jq

SechDistributionを近似する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cuigv9
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-b0ltcy
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-il9vra
Out[4]=4

あるデータについての移動キュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-qya38p

長さ.1の窓を使う：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-2fn35
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-e6huz6
Out[3]=3

ランダム過程の経路集合のスライスについてキュムラントを計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-8se1zg

いくつかの時間スライスを選ぶ：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-52xxug
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-iakfqb

これらの経路上でキュムラントをプロットする：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-tvmkqe
Out[4]=4

特性と関係  (5)この関数の特性および他の関数との関係

一次キュムラント は一次モーメント と等しい：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cu5n6r
Out[1]=1

二次キュムラント は二次中心モーメント と等しい：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-fg9p8
Out[2]=2

三次キュムラント は三次中心モーメント と等しい：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-hdirqx
Out[3]=3

キュムラント はキュムラント母関数の 次導関数とゼロにおいて等しい：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-dpquhi
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-cza1b1
Out[2]=2

Cumulantを直接使う：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ikce58
Out[3]=3

GeneratingFunctionを使ってキュムラント母関数を求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-myr2n
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-la1686
Out[2]=2

CumulantGeneratingFunctionを使って検証する：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-dtrwn2
Out[3]=3

形式的には，キュムラントはCumulantGeneratingFunction[dist,t]がLog[MomentGeneratingFunction[dist,t]]によって与えられるという事実を使って計算できる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-drp7c9
Out[1]=1
Out[1]=1

母関数の観点からのモーメントの定義を代入する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bl9l0d
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-efbr3n
Out[3]=3

データについてのCumulantのサンプル推定量は偏っている：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-dwkjb1

サイズ を仮定してサンプリング母集団の期待値を求める：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-ilwn7m
Out[2]=2

PowerSymmetricPolynomialを使ってサンプルの不偏推定量を構築する：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-b0zwd4

サイズの小さいサンプルで不偏性を調べる：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-yiaj0
Out[4]=4
In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-yh3vk
Out[5]=5

サンプル推定量は偏っている：

In[6]:=6
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-giqquc
Out[6]=6

サンプル推定量のサンプリング母集団の期待値と比較する：

In[7]:=7
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-gdg6hr
Out[7]=7

考えられる問題  (1)よく起る問題と予期しない動作

裾部の長い分布の中にはいくつかの次数の低いキュムラントしか定義されないものもある：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-y7d6z
Out[1]=1

おもしろい例題  (2)驚くような使用例や興味深い使用例

キュムラントの積について不偏推定量を求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-jjvv

サンプリング母集団の期待値をチェックする：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-bo7ocl
Out[2]=2

20個，100個，300個のサンプルについてのCumulant推定値の分布：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-da7idd
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0g7e7v8mvf6-8raem
Out[2]=2
Wolfram Research (2010), Cumulant, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html （2024年に更新）.
✖
Wolfram Research (2010), Cumulant, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html （2024年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), Cumulant, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html （2024年に更新）.

✖
Wolfram Research (2010), Cumulant, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html （2024年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "Cumulant." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html.

✖
Wolfram Language. 2010. "Cumulant." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html.

APA

Wolfram Language. (2010). Cumulant. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html

✖
Wolfram Language. (2010). Cumulant. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2025_cumulant, author="Wolfram Research", title="{Cumulant}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html}", note=[Accessed: 07-April-2025 ]}

✖
@misc{reference.wolfram_2025_cumulant, author="Wolfram Research", title="{Cumulant}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html}", note=[Accessed: 07-April-2025 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2025_cumulant, organization={Wolfram Research}, title={Cumulant}, year={2024}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html}, note=[Accessed: 07-April-2025 ]}

✖
@online{reference.wolfram_2025_cumulant, organization={Wolfram Research}, title={Cumulant}, year={2024}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Cumulant.html}, note=[Accessed: 07-April-2025 ]}