Cumulant

Cumulant[data,r]

给出 data 的第 r 个累积量 .

Cumulant[data,{r₁,…,r_m} ]

给出 data 的阶次为 {r₁,…,r_m}的多元累积量 .

给出分布 dist 的 r 阶累积量.

表示 r 阶形式累积量.

更多信息

形式上，第 r 个累积量被定义为 CumulantGeneratingFunction 的泰勒级数的系数.
用矩（moment）表示的前几个累积量：
一般而言，MomentConvert[Cumulant[r],"Moment"] 用矩给出 .
Cumulant[data,r] 有效地使用 MomentConvert 根据数据的其他矩来计算.
对于 x∈Arrays[{n₁,n₂,… ,n_k}]，Cumulant[x,r] 等价于 ArrayReduce[Cumulant[#,r]&,data,1]. »
对于 x∈Arrays[{n₁,n₂,… ,n_k}]，Cumulant[x,{r₁,…,r_m}] 等价于 ArrayReduce[Cumulant[#,{r₁,…,r_m}]&,x,{{1},{2}}]. »
Cumulant 可处理数值型或符号式数据.
data 还可以有以下形式和解释：

	Association	值（键值被忽略） »
	WeightedData	加权平均值，基于底层的 EmpiricalDistribution »
	EventData	基于底层的 SurvivalDistribution »
	TimeSeries, TemporalData, …	值的向量或数组（时间戳忽略不计） »
	Image,Image3D	RGB 通道值或灰度强度值 »
	Audio	所有通道的振幅值 »

对于有 G=CumulantGeneratingFunction[,…] 的分布 dist：
Cumulant[,r] »

Cumulant[dist,{r₁,…,r_m}] »
For a random process proc, the cumulant function can be computed for slice distribution at time t, SliceDistribution[proc,t], as [t]=Cumulant[SliceDistribution[proc,t],r]. »
Cumulant[r] 可用于诸如 MomentConvert、MomentEvaluate 等函数. »

范例

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基本范例 (2)

从数据计算累积量：

对于符号数据：

计算一个连续单变量分布的二阶累积量：

一个多变量分布的累积量：

范围 (22)

基础用法 (6)

精确输入产生精确输出：

近似输入产生近似输出：

求 WeightedData 的累积量：

求 EventData 的累积量：

求 TimeSeries 的累积量：

累积量仅与数值有关：

求带单位数据的累积量：

数组数据 (5)

对于矩阵而言，Cumulant 给出列向累计量：

对于数组而言，Cumulant 给出第一层的列向累积量：

适用于大型数组：

当输入为 Association 时，Cumulant 作用于其值：

SparseArray 数据可以像稠密数组一样使用：

根据原始矩计算数组的多元累积量：

图像和音频数据 (2)

RGB 图像的通道累积量：

灰度图像的累积量强度值：

对于音频对象，Cumulant 按通道工作：

分布与过程累积量 (5)

Scalar单变量分布的累积量：

Scalar cumulant for multivariate distributions:

Joint cumulant for multivariate distributions:

计算符号式阶 r 的累积量：

累积量仅对具体阶数计算：

累积量仅能数值式计算：

导出分布的累积量：

数据分布：

随机过程的累积量函数：

求 TemporalData 在时刻 t=0.5 的累积量：

求相应的累积量函数和所有的模拟：

正式累积量 (4)

正式累积量的 TraditionalForm 格式：

将正式矩的组合转换为含 Cumulant 的表达式：

计算包含正式累积量的一个分布的表达式：

对数据计算：

求包含 Cumulant 的一个表达式的样本估计量：

计算数据所产生的估计量：

应用 (5)

利用累积量法估计分布的参数：

根据大数定理，随着样本量的增加，样本矩逐渐趋向于总体矩. 使用 Histogram 说明不同样本量时，标准正态随机变量的样本累积量的概率分布：

阶数为的 Edgeworth 展开：

趋向于 SechDistribution：

计算一些数据的移动累积量：

使用长度为.1的窗：

计算随机过程一组路径的切片的累积量：

选择几个切片时间：

绘制这些路径上的累积量：

属性和关系 (5)

一阶累积量与一阶矩等价：

二阶累积量与二阶中心矩等价：

三阶累积量与三阶中心矩等价：

累积量等于累积量母函数在零点的阶导数：

直接使用 Cumulant：

利用 GeneratingFunction 求累积量母函数：

利用 CumulantGeneratingFunction 进行检验：

形式上，可利用 CumulantGeneratingFunction[dist,t] 由 Log[MomentGeneratingFunction[dist,t]] 给出的事实来计算累积量：

根据生成函数输入矩的定义：

对数据的 Cumulant 的样本估计值是有偏的：

假设大小为，求采样总体期望：

使用 PowerSymmetricPolynomial 构建一个无偏样本估计量：

验证小样本上的无偏性：

样本估计值是有偏的：

与样本估计量的采样总体期望进行比较：

可能存在的问题 (1)

对于某些长尾分布，定义了某些低阶累积量：

巧妙范例 (2)

求累积量的积的无偏估计：

检查采样总体期望：

对 20、100和 300 个样本 Cumulant 的分布估计：

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