FourierMatrix

FourierMatrix[n]

返回 n×n 傅立叶矩阵.

更多信息和选项

  • 阶数为 n 的 FourierMatrix 返回长度为 n 的离散傅立叶变换的基本序列的列表.
  • 傅立叶矩阵的每个项默认定义为 ，其中 .
  • FourierMatrix 的行是离散傅立叶变换的基本序列.
  • FourierMatrix[n] 的结果 F 为复对称且为酉矩阵，意思是 F-1 是 Conjugate[F].
  • 可以给出下列选项：
  • FourierParameters {0,1}定义傅立叶变换的参数
    TargetStructure Automatic返回的矩阵结构
    WorkingPrecision Infinity创建项时使用的精度
  • 可以使用选项 FourierParameters 来指定傅立叶矩阵的不同定义选择. 设置 FourierParameters->{a,b}，傅立叶矩阵的项定义为 ，其中 .
  • 常见的 {a,b} 的选择有 {0,1}（物理学），{-1,1}（数据分析），{1,-1}（信号处理）.
  • TargetStructure 的可能设置包括：
  • Automatic自动选择返回的矩阵表示
    "Dense"以稠密矩阵的形式表示矩阵
    "Structured"以结构化数组的形式表示矩阵
    "Symmetric"以对称矩阵的形式表示矩阵
    "Unitary"以酉矩阵的形式表示矩阵
  • 设置 FourierMatrix[…,TargetStructureAutomatic]，如果矩阵项的数目小于预设阈值，则返回稠密矩阵，否则返回结构化数组.
  • 当 list 的长度为 n 时，FourierMatrix[n].list 的结果等价于 Fourier[list]. 然而，除非 FourierMatrix 以结构化数组的形式保存，否则 Fourier[list] 计算速度更快，数值误差更小. »
  • 对于结构化 FourierMatrix sa 而言，下列属性 "prop" 可以 sa["prop"] 的形式访问：
  • "FourierParameters"参数 {a,b}
    "WorkingPrecision"内部使用的精度
    "Properties"支持属性的列表
    "Structure"结构化数组的类型
    "StructuredData"结构化数组存储的内部数据
    "StructuredAlgorithms"为结构化数组提供特殊方法的函数列表
    "Summary"摘要信息，以 Dataset 的形式表示

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

一个 傅立叶矩阵：

大型傅立叶矩阵：

范围  (2)

长度为 128 的傅立叶基本序列的实部和虚部：

使用选项设置 TargetStructure"Structured" 构建一个结构化傅立叶矩阵：

对于较大型矩阵，结构化表示法可以节省大量的内存：

选项  (3)

FourierParameters  (1)

傅立叶矩阵的默认定义：

信号处理中使用的傅立叶矩阵的定义：

数据分析中使用的傅立叶矩阵的定义：

TargetStructure  (1)

以稠密矩阵的形式返回傅立叶矩阵：

以结构化数组的形式返回傅立叶矩阵：

以对称矩阵形式返回傅立叶矩阵：

以酉矩阵形式返回傅立叶矩阵：

WorkingPrecision  (1)

使用机器精度：

使用任意精度：

应用  (3)

快速傅立叶变换 (FFT) 的效率依赖于能够从两个较小的傅立叶矩阵形成更大的傅立叶矩阵. 生成两个尺寸为 p 和 q 的小傅立叶矩阵：

尺寸为 p q 的傅立叶矩阵可以表示为四个更简单矩阵的乘积：

证明得到的矩阵等价于 FourierMatrix 的结果：

向量的离散傅里叶变换可以通过将傅里叶矩阵的因子连续乘以向量来计算：

结果等效于将 Fourier 应用于向量：

定义一个函数，用于根据矢量构造一个环形矩阵：

环形矩阵可以通过傅立叶矩阵进行对角化：

由此产生的对角矩阵的对角线元素与傅立叶矩阵和起始矢量的乘积相同，最多是一个恒定的缩放系数：

具有单位归一化的傅立叶矩阵：

对于偶数维度，矩阵的积和式为零：

对于奇数维度，矩阵的积和式总是一个整数：

对于一个奇数素数 p>3，p×p 矩阵的积和式与后式全等 p!，模数为 p3：

属性和关系  (2)

FourierMatrix 可以表示为一个按比例缩放的 VandermondeMatrix：

向量的傅立叶变换等价于向量乘以傅立叶矩阵：

反傅立叶变换等价于乘以其共轭转置：

Fourier 比基于矩阵的计算更快：

Wolfram Research (2012)，FourierMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FourierMatrix.html （更新于 2024 年）.

文本

Wolfram Research (2012)，FourierMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FourierMatrix.html （更新于 2024 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2012. "FourierMatrix." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/FourierMatrix.html.

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Wolfram 语言. (2012). FourierMatrix. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/FourierMatrix.html 年

BibTeX

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