FunctionMeromorphic 不能为任意值的参数 算出答案：

若假设 是一个正整数，则 FunctionMeromorphic 可以成功：

默认情况下，FunctionMeromorphic 可能对符号参数生成条件：

当 GenerateConditions->None 时，FunctionMeromorphic 不会给出一个有条件的结果，而是会失败：

这会返回一个有条件有效的条件，但不会说明条件是什么：

默认情况下，会报告所有条件：

设定 GenerateConditions->Automatic，则一般为真的条件不会被报告：

使用 PerformanceGoal 可避免可能出现的复杂计算：

默认设置会使用所有可用的技术来生成一个结果：

有理函数是亚纯函数：

Tan、Sec 和 Sech 是亚纯函数：

可视化这些函数：

在一个平面内可视化这些函数，可以看出它们的奇点至少会是极点：

有分支切割的函数比如 Log 不是亚纯函数：

Sqrt 或任何带有非整数幂的函数也不是：

反三角函数和双曲线函数如 ArcSin、ArcTan 和 ArcCsch 同样也不是亚纯函数：

非微分函数如 Abs、Sign 和 Re 不是亚纯函数：

可视化一些函数：

哪些只在实数输入上有定义的函数，比如 UnitStep 和 TriangleWave，也不会是亚纯函数：

这些函数在复数值上没有定义：

每一个可在复平面上解析的函数都是亚纯函数：

亚纯函数的算数组合函数依然是亚纯函数：

由于所有三角函数和双曲线函数都是 Exp 的算数组合形式，它们都是亚纯函数：

更普遍一点说，任何亚纯函数的有理组合都是亚纯函数：

可视化 Exp 和八个非解析型的三角函数和双曲线函数：

亚纯函数的复合函数不一定要是亚纯函数：

一个亚纯函数的奇点必须在复合情况下聚在一起，这样就会有一个非极点的奇点：

在原点处有一个本质奇点，可以由下列极限证明：

但是，亚纯函数与一个解析函数的复合函数通常是亚纯函数：

可视化该复合函数：

多变量有理函数是亚纯函数：

不像单变量函数一样，奇点在曲线上，在第一个函数中，是在 曲线上：

将第二个函数绘制在 平面上，可以在双曲线 上看到：

通过与单变量解析函数复合，我们可以得到更多的解析函数：

完全 Beta 函数 是亚纯函数：

它可以被看做是一个多变量有理 Gamma 函数：

可视化该函数：

亚纯函数的 Limit 要么是一个数字，要么是 ComplexInfinity：

Sqrt 有极限不存在的点，所以该函数不是亚纯函数：

亚纯函数的奇点，称为极点，有一个与之关联的 Residue：

该留数是在该函数的幂级数展开中 的系数：

沿着闭合等值线的亚纯函数的积分等于 乘以曲线中极点留数之和. 计算原点旁 的积分，这显然是其仅有的极点：

在 处，这必须等于 留数：

任何其他的闭合等值线也会给出同样的结果，例如环行线：

可视化函数和等值线：

如果等值线没有包围奇点，则积分为0：

可视化该函数和这另一条等值线：

如果一个函数的所有奇点都有相等的或相关的留数，则在闭合等值线上的积分可用于清点包围住的极点数量. 比如， 在每一个 的半整数倍数位置上都有一个留数为 的极点：

在一个横跨实数轴的矩形上的积分可以对内含的半整数倍数 的个数进行计数：

围道积分的一个常见应用是在实数线上计算积分，方法是通过将等值线扩展成一个在上半平面或下半平面是一个半圆的封闭区域。如果在半圆上方的积分部分消失，则围道积分必须等于实数积分。比如 . 该被积函数是亚纯函数：

被积函数的奇点在分母为零时出现：

用上半平面为半圆的形式完成这个等值线，并用留数计算积分：

当 时，半圆上的积分的阶为 , 所以实数积分的值必须相等：

对于有 形式为 的被积函数来说， 为亚纯函数， 在 上连续，且对于大的 而言，，积分 可被计算成 乘以上半平面中 的留数和. 使用这个方法计算 . 首先，验证 是亚纯函数：

函数按照要求在无限大处衰减：

上半平面中，在 处有一个极点：

所以，积分 ：

由于 和 是偶数，所以 是前面结果的一半：

用直接计算来验证该结果：