Moment

Moment[data,r]

data の r 次サンプルモーメント を与える．

Moment[data,{r1,…,rm}]

data の多変量{rx,ry,…}次モーメント を与える．

Moment[dist,…]

分布 dist のモーメントを与える．

Moment[r]

r 次の形式的なモーメントを表す．

詳細

  • Momentは原点の周りのモーメントとしても知られている．
  • 次数 r のスカラーと data が配列 である場合：
  • x in TemplateBox[{Vectors, paclet:ref/Vectors}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][n]r 乗の和 »
    x in TemplateBox[{Matrices, paclet:ref/Matrices}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n,m}]列ごとの r 乗の和 »
    x in TemplateBox[{Arrays, paclet:ref/Arrays}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n_(1),...,n_(k)}]列ごとの r 乗の和 »
  • Moment[x,r]はArrayReduce[Moment[#,r]&,x,1]に等しい．
  • 次数{r1,…,rm}のベクトルと data が配列 である場合：
  • x in TemplateBox[{Matrices, paclet:ref/Matrices}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n,m}]第 j 列の r 乗の和
    x in TemplateBox[{Arrays, paclet:ref/Arrays}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n_(1),...,n_(k)}]第 j 列の r 乗の和 »
  • Moment[x,{r1,…,rm}]はArrayReduce[Moment[#,{r_1,r_2,...,r_m}]&,x,{{1},{2}}]に等しい．
  • Momentは数値データと記号データの両方を扱う．
  • data は，以下の追加的な形式と解釈を持つことができる．
  • Association値（キーは無視される） »
    WeightedDataもとになっているEmpiricalDistributionに基づく加重平均 »
    EventDataもとになっているSurvivalDistributionに基づく »
    TimeSeries, TemporalData, …値のベクトルまたは配列（タイムスタンプは無視される） »
    Image,Image3DRGBチャンネル値またはグレースケールの強度値 »
    Audioすべてのチャンネルの振幅値 »
  • 分布 dist の r 次モーメントはExpectation[xr,xdist]で与えられる． »
  • 多変量分布 dist の {r1,…,rm}次モーメントはExpectation[x1r1⋯ xmrm,{x1,…,xm}dist]で与えられる． »
  • ランダム過程 proc については，モーメント関数は時点 t におけるスライス分布SliceDistribution[proc,t]について，μr[t]=Moment[SliceDistribution[proc,t],r]として計算することができる． »
  • Moment[r]はMomentConvertやMomentEvaluate等の関数で使うことができる． »

例題

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例  (2)

データからモーメントを計算する：

記号データを使う：

一変量分布の二次モーメント を計算する：

多変量分布のモーメント ：

スコープ  (22)

基本的な用法  (6)

厳密な入力は厳密な出力を与える：

近似入力は近似出力を与える：

WeightedDataのモーメントを求める：

EventDataのモーメントを求める：

TimeSeriesのモーメントを求める：

モーメントは値のみに依存する：

数量を含むデータのモーメントを求める：

配列データ  (5)

Momentは，行列については列ごとの平均を与える：

Momentは，配列については第1レベルの列ごとの平均を与える：

配列についての多変量Moment：

大きい配列に使うことができる：

入力がAssociationのとき，Momentはその値に作用する：

SparseArrayデータは密な配列のように使うことができる：

QuantityArrayのモーメントを求める：

画像データと音声データ  (2)

RGB画像のチャンネルごとのモーメント：

グレースケール画像のモーメントの強度値：

Momentは，音声オブジェクトに対してはチャンネルごとに作用する：

分布のモーメントと過程のモーメント  (5)

一変量分布のスカラーモーメント：

多変量分布のスカラーモーメント：

多変量分布の結合モーメント：

記号次数 r についてのモーメントを計算する：

モーメントは特定の次数についてしか評価できないことがある：

モーメントは数値評価しかできないことがある：

派生分布についてのモーメント：

データ分布について：

ランダム過程についてのモーメント関数：

時点 t=0.5におけるTemporalDataのモーメントを求める：

対応するモーメント関数を，すべてのシミュレーションとともに求める：

形式的なモーメント  (4)

形式的なモーメントのTraditionalFormによる表示：

形式的なモーメントの組合せをMomentを含む式に変換する：

形式的なモーメント μ2+μ3 を含む式を分布について評価する：

データについて評価する：

Momentを含む式についてのサンプル推定量を求める：

結果の推定量をデータについて評価する：

アプリケーション  (10)

データと時系列のモーメント  (3)

大数の法則には，サンプルサイズが大きくなるにつれてサンプルモーメントは母集団モーメントに近付くとある．Histogramを使い，さまざまなサンプルサイズについて一様確率変量の二次サンプルモーメントの確率分布を示す：

収束プロセスを可視化する：

時系列データの移動モーンメントを計算する：

長さ.1の窓を使う：

ランダム過程の経路集合のスライスについてモーメントを計算する：

いくつかのスライス時間を選ぶ：

これらの経路上に第4モーメントをプロットする：

モーメント法  (3)

モーメント法を使って分布の母数を推定する：

データと推定パラメトリック分布を比較する：

モーメント法を使ってGammaDistributionの正規近似を求める：

と が と にいかに依存しているかを示す：

もとの分布と近似された分布を比較する：

PearsonDistributionのモーメントは密度関数 の定義微分方程式によって暗示される3項の再帰方程式を満足する：

モーメント方程式を証明する：

再帰方程式を使いPearsonDistributionの母数をそのモーメントについて表す：

PearsonDistributionをデータにフィットする：

結果の分布のモーメントがデータのモーメントと等しいことを確かめる：

モーメントからの確率密度関数の近似  (3)

2つの異なる分布がモーメントの同じシーケンスを持つことがある：

両者の密度を対数スケールで比較する：

両者のモーメントを計算する：

両者が非負のすべての整数次数で等しいことを証明する：

六次でタイプAのGram–Charlier展開を構築する：

正の領域における単調の確率密度関数 は によって有界である：

最初の数次についての指数分布の恒等式を証明する：

モーメントからの期待値近似  (1)

確率変数の関数の期待値を近似する求積法を求める：

個の最低次直交多項式を求める：

正規直交性を検証する：

求積法の点を求める：

次までの多項式で規則が厳密であるという条件で，求積法の重みを求める：

の期待値の近似を計算する：

NExpectationでチェックする：

特性と関係  (8)

次数 r のMomentは確率変数の r 乗のExpectationに等しい：

多変量モーメントは，多変量単項式のExpectationに等しい：

一次Momentは一変量分布のMeanである：

データについても同じことが言える：

多変量分布のMeanはその一変量周辺分布のモーメントのリストである：

Momentを単位ベクトルで与えられる次数とともに使うこともできる：

次Momentとの両方が存在する場合，この2つは等しい：

Momentを直接使う：

GeneratingFunctionを使ってモーメント母関数を求める：

MomentGeneratingFunctionの直接評価と比較する：

Momentは，CentralMoment，CumulantあるいはFactorialMomentを使って表すことができる：

サンプルモーメントは母集団モーメントの不偏推定量である：

ゆえに，推定量のサンプリング分布期待値は推定モーメントに等しい：

固定サイズのサンプルでこれを確かめる．サンプルで推定量を評価する：

独立同分布に従う確率変数 と を仮定して期待値を求める：

深度 の配列の多変量モーメントの深度は である：

考えられる問題  (2)

裾部の重い分布については2，3の低次モーメントしか定義できないことがある：

裾部の重い分布の中にはモーメントが定義できないものもある：

分布を特徴付けるのに変位値がよく用いられる：

おもしろい例題  (2)

モーメントの積の不偏推定量を求める：

GammaDistributionについて の特殊ケースの不偏性をチェックする：

20個，100個，300個のサンプルについてのMoment推定値の分布：

Wolfram Research (2010), Moment, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Moment.html （2024年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), Moment, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Moment.html （2024年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "Moment." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/Moment.html.

APA

Wolfram Language. (2010). Moment. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Moment.html

BibTeX

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BibLaTeX

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