機械精度ベクトルの別のベクトルへの射影を求める：

複素ベクトルの別のベクトルへの射影：

厳密ベクトルの別のベクトルへの射影：

任意精度ベクトルの別のベクトルへの射影：

大きい数値ベクトルの射影は効率的に計算される：

記号ベクトルの射影：

すべての式が実数値であると仮定してDotの内積を与える：

明示的な内積を使ってリストではないベクトルを射影する：

純関数を使って内積を指定する：

ベクトル をベクトル でスパンされた線上に射影する：

と でスパンされた線上へのその射影を可視化する：

ベクトル をベクトルとでスパンされた平面上に射影する：

まず，を に垂直な平面上のベクトルで置換する：

平面上の射影は とへ の射影の和である：

平面と垂直な成分を求める：

を平面の法線に射影することで結果を確認する：

平面，ベクトル，その平行および垂直成分を可視化する：

Projectionを使って，ベクトル に直角な線についてのベクトル の反射を得る：

Since は直線に直角なので， の2倍を引くと線について が反射される：

ReflectionTransformの結果と比較する：

とその反射を によって2回繰り返される平行移動として可視化する：

フレネ・セレ(Frenet–Serret)の系はすべての空間曲線の特性をベクトル基底およびスカラー関数で符号化する．次の曲線（螺旋）について考える：

平行射影を引くことで最初の3つの導関数から正規直交基底を構築する：

基底が右手系であるようにする：

曲線の曲がり方を数量化する曲率 とねじれ を計算する：

FrenetSerretSystemを使って答を確かめる：

曲線と枠とも呼ばれる関連する移動基底を可視化する：

グラム・シュミット(Gram–Schmid)過程を適用して次のベクトルから正規直交基底を構築する：

正規直交規定 の最初のベクトルは，単に正規化された複数の に過ぎない：

続くベクトルについては，前の基底ベクトルの平行の成分は正規化の前に引かれる：

Orthogonalizeを使って答を確認する：

次の行列 の列空間についての正規直交基底を求め，その基底を使って のQR分解を求める：

は の 番目の列であると定義する：

を対応するグラム・シュミット基底の 番目の要素として定義する：

を列が の行列として定義する：

とする：

であることを確認する：

QRDecompositionの結果と比較する． 行列は等しい：

QRDecompositionは行正規直交の結果を与えるので， 行列は転置分だけ異なる：

エルミート(Hermite)行列（より一般的には任意の正規行列）の固有ベクトルは直交ベクトルであり，射影行列は と定義するのが一般的である．ただし，は正規化された固有ベクトルである．一般ベクトル上への射影行列の動作が次の行列 について固有空間へのベクトルの射影と等しいことを示す：

がエルミート行列であることを確認する：

固有値と固有ベクトルを求める：

正規化された固有ベクトルを計算する：

射影行列を計算する：

一般ベクトルを 倍することは へのベクトルの射影に等しいことを確認する：

は正規直交基底を形成するので，の和は恒等行列でなければならない：

さらに，の和はもとの行列 である：

線形系 に解がない場合，最良の近似解は最小二乗解である．それは の解である．ただし，は の列空間への の直交射影である．次の と について考える：

この線形系には一貫性がない：

をスパンする直交ベクトルを求める．まず，は の第1列であるとする：

は と垂直な列空間のベクトルであるとする：

でスパンされた空間への の正射影 を計算する：

， へのその射影 と を可視化する：

を解く：

LeastSquaresを使って結果を確かめる：

Projectionを使ってデータに最もフィットする曲線が求められる．次のデータについて考える：

と の座標をデータから抽出する：

を最小化することが線 にフィットすることになるように が列 と を持つとする：

次の2つの直交ベクトルは明らかに の列と同じ空間をスパンしている：

線形最小二乗フィットの係数 と を得る：

Fitを使って係数を確かめる：

最もフィットする曲線をデータとともにプロットする：

次のデータに最もフィットする放物線を求める：

と の座標をデータから抽出する：

を最小にすることが にフィットすることになるように， が列 ，，を持つとする：

と同じ列空間を持つ正規直交ベクトル を構築する：

最小二乗フィットの係数 ，， を得る：

Fitを使って係数を確認する：

最もフィットする曲線をデータとともにプロットする：

正定値実対称行列あるいは測定値 は によって内積を定義する：

正定値であるということは，関連する二次形式 が のときは正であることを意味する：

Dotそれ自体が恒等行列に関連付けられた内積である点に注意のこと：

グラム・シュミット過程を標準基底に適用して正規直交基底を得る：

基底が内積について正規直交であることを確認する：

フーリエ級数は内積空間 内の特定の基底への射影である．自乗可積分関数で標準の内積を定義する：

は のさまざまな整数値についてのを表すとする：

は互いに直交するが正規直交ではない：

関数 のフーリエ級数は によってスパンされた空間への の射影である：

FourierSeriesを使って結果を確かめる：

さらに，はFourierParameters{-1,1}に対応するフーリエ級数に等しい：

FourierCoefficientを使って確かめる：

非正規化グラム・シュミットアルゴリズム：

3つのベクトルのランダムなセットにグラム・シュミットを行う：

直交性を確認する．ベクトルが正規化されていないので，結果は一般的な直交行列である：

正実対称行列を使って複素内積を定義する：

グラム・シュミットを3つの複素ベクトルのランダム集合に対して行う：

直交性を確かめる：

LegendrePは直交多項式族を内積 について定義する．正規化されていないグラム・シュミット過程を単項式 （ は0から4まで）に適用して最初の5つのルジャンドル(Legendre)多項式のスカラー倍を計算する：

を従来のルジャンドル多項式と比較する：

各 について，と は定数倍数分だけ異なるが，これははに等しいことが分かる：

正規直交集合を計算する：

正規直交多項式についての明示的な式と比較する：

HermiteHは直交多項式族を内積 について定義する．正規化されていないグラム・シュミット過程を単項式 （ は0から4まで）に適用して最初の4つのエルミート多項式のスカラー倍を計算する：

従来のエルミート多項式と比較すると は倍小さい：

直交多項式は分母のの倍数分異なる：

正規直交多項式についての明示的な式と比較する：

量子力学では，状態は複素単位ベクトルで表され，物理量はエルミート線形演算子で表される． 固有値は可能な観測値を，固有ベクトルへの射影の2乗ノルムはそれらの観測値の確率を表す．与えられたスピン演算子 と状態 について，可能な観測値とその確率を求める：

固有系を計算する．可能な観測値はである：

相対確率はについては，についてはである：

量子力学では，エネルギー演算子はハミルトニアン と呼ばれ，エネルギー の状態はシュレディンガー方程式 に従って進化する． 方向の一定磁場内のスピン1粒子のハミルトニアンが与えられたとして最初は を表す状態にあった粒子の時点 におけるの状態を求める：

固有系を計算する．エネルギーレベルはおよびである：

時点 における状態はシュレディンガー方程式に従って進化した各固有状態の和である：

ハミルトニアン について， 番目の固有ベクトルは の定数倍数で，ベクトルの内積は である． 状態 の粒子が最初の4つの固有状態の1つにある確率を求める．まず，内積を定義する：

がこの内積内の単位ベクトルであることを確認する：

最初の4つの状態に射影する．および については，この射影と確率は0である：

確率は射影の二乗ノルムで与えられる．なら90%未満である：

なら9%未満である：