求机器精度的向量在另一机器精度向量上的投影：

求复向量在另一复向量上的投影：

求精确向量在另一精确向量上的投影：

求任意精度的向量在另一任意精度向量上的投影：

高效计算大型数值向量的投影：

符号向量的投影：

给出内积 Dot，假定所有表达式的值都是实数：

用显式内积求不是以列表形式给出的向量的投影：

用纯函数指定内积：

将向量 投影到向量 张成的线上：

可视化 及其在 张成的线上的投影：

将向量 投影到向量 和 张成的平面上：

首先，将 替换为垂直于 的平面中的向量：

平面上的投影是在 和 上的投影之和：

求垂直于平面的分量：

通过将 投影到平面的法线上来验证结果：

可视化平面、向量及其平行和垂直分量：

使用 Projection 将向量 映射到向量 的法线上：

由于 垂直于直线，所以减去 的两倍，就能将 映射到直线的另一侧：

与 ReflectionTransform 的结果进行比较：

将 及其映射视作 的两次重复平移：

Frenet–Serret 系统用向量基和标量函数对每条空间曲线的属性进行编码. 请见下面这条曲线（螺旋线）：

用平行射影减去前三个导数，构建正交基：

确保基是右旋的：

计算曲率 和挠率 ，它们量化了曲线的弯曲方式：

使用 FrenetSerretSystem 验证答案：

可视化曲线和关联的移动基础（也称为基架）：

应用 Gram–Schmidt 过程并根据以下向量构造一个标准正交基：

正交基中的第一个向量 仅仅是正规化的倍数 ：

对于后续向量，在正规化之前减去与早期基向量平行的分量：

使用 Orthogonalize 对结果进行验证：

找到以下矩阵 的列空间的正交基，然后使用该基找到 的 QR 分解：

定义 为 的第 列：

定义 为相应 Gram–Schmidt 基的第 个元素：

定义 是列为 的矩阵：

令 ：

确认 ：

与 QRDecomposition 给出的结果进行比较； 矩阵是相同的：

矩阵因转置而不同，因为 QRDecomposition 给出了行正交结果：

对于埃尔米特矩阵（可推广到任何正规矩阵），特征向量是正交的，并且通常定义投影矩阵 ，其中 是正规化的特征向量. 证明投影矩阵对一般向量的作用与将向量投影到以下矩阵 的特征空间上的作用相同：

验证 是埃尔米特矩阵：

求特征值和特征向量：

计算正规化特征向量：

计算投影矩阵：

确认将一般向量乘以 等于向量在 上的投影：

由于 形成一个标准正交基，因此 的和必须是单位矩阵：

此外， 之和为原矩阵 ：

如果线性方程组 没有解，则最好的近似解是最小二乘解. 这是 的解，其中 是 在 的列空间上的正交投影. 思考以下 和 ：

该线性方程组无解：

找到张成 的正交向量. 首先，设 为 的第一列：

令 为列空间中垂直于 的向量：

计算 的正交投影 到由 张成的空间上：

可视化 ，其到 和 上的投影 ：

求解 ：

使用 LeastSquares 确认结果：

Projection 可用于找到数据的最佳拟合曲线. 思考以下数据：

从数据中提取 和 的坐标：

令 有列 和 ，这样最小化 可拟合到直线 ：

以下两个正交向量显然与 的列张成了相同的空间：

获取线性最小二乘拟合的系数 和 ：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：

找到最好拟合以下数据的抛物线：

从数据中提取 和 坐标：

令 有 、 和 列，因此最小化 将拟合 ：

构造与 具有相同列空间的正交向量 ：

获取最小二乘拟合的系数 、 和 ：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：

正定实对称矩阵或度量 通过 定义内积：

正定意味着相关的二次形式 在 时为正：

请注意，Dot 本身是与单位矩阵相关的内积：

将 Gram–Schmidt 过程应用于标准基可获得正交基：

验证关于内积 的上述基为正交：

傅里叶级数是在内积空间 中特定基上的投影. 定义平方可积函数的标准内积：

对于 的不同整数值，令 表示 ：

彼此正交，但并非正交正规：

函数 的傅里叶级数是 在 所张成的空间上的投影：

使用 FourierSeries 验证结果：

而且， 等于对应 FourierParameters{-1,1} 的傅里叶系数：

使用 FourierCoefficient 进行验证：

非正规化 Gram–Schmidt 算法：

在 3 个向量的随机集合上进行 Gram–Schmidt 运算：

验证正交性；由于向量未正规化，因此结果是一般的对角矩阵：

使用正实对称矩阵来定义复数内积：

对三个复向量的随机集合进行 Gram–Schmidt 运算：

验证正交性：

LegendreP 定义了关于内积 的正交多项式族. 对 从 0 到 4 的单项式 应用非规范化的 Gram–Schmidt 过程，计算前五个勒让德多项式的标量倍数：

比较 和传统的勒让德多项式：

对于每一个 ， 和 相差一个常数倍数，可以证明等于该倍数 ：

计算一个正交集：

与正则化多项式的明确表达式进行比较：

HermiteH 定义了关于内积 的正交多项式族. 对 从 0 到 4 的单项式 应用非规范化的 Gram–Schmidt 过程，计算前四个埃尔米特多项式的标量倍数：

与传统的埃尔米特多项式相比， 较小且倍数为 ：

正交多项式的分母相差 的倍数：

与正则化多项式的明确表达式进行比较：

在量子力学中，状态由复单位向量表示，物理量由埃尔米特线性算子表示. 特征值表示可能的观测值，投影到特征向量上的平方范数表示这些观察结果的概率. 对于给定的自旋算子 和状态 ，计算可能的观测值及其概率：

计算特征系统，可能的观测值是 ：

的相对概率为 ， 的相对概率为 ：

在量子力学中，能量算子称为哈密顿量 ，根据薛定谔方程 具有能量 的状态. 给定 方向恒定磁场中自旋 1 粒子的哈密顿量，求处于状态初始 表示 的粒子在时间 的状态：

计算特征系统，能级为 和 ：

在时间 时的状态是根据薛定谔方程演化的每个特征状态的总和：

对于哈密顿量 ，第 个特征向量是一个为 常数倍数的函数，其向量的内积是 . 对于状态 的粒子，求其处于前四个特征状态之一的概率. 首先，定义内积：

确认 是这个内积中的单位向量：

投影到前四个状态；对于 和 ，投影为零因此概率为零：

概率由投影的平方范数给出. 对于 ，概率略低于 90%：

对于 ，概率略低于 9%：