常微分方程 (ODE)

ODE 综述	更高阶 ODE
一阶 ODE	ODE 方程组
线性二阶 ODE	具有李对称性的非线性 ODE
非线性二阶 ODE	分数阶微分方程

ODE 综述

在纯科学和应用科学中感兴趣的常微分方程的研究有四个主要领域.

精确解，它是满足给定问题的闭合格式或隐式解析表达式.
数值解，可用于更广泛的问题，但通常仅在独立变量的有限范围上有效.
定性理论关注解的全局属性，在动态系统的现代方法中尤为重要.
存在性和唯一性定理通过微分方程满足一系列条件，从而保证存在具有某些所需特性的解.

在这四个领域中，精确解的研究历史最悠久，可以追溯到艾萨克·牛顿爵士和戈特弗里德·冯·莱布尼兹发现微积分之后的时代. 下表介绍了 DSolve 可以解决的方程类型.

方程名称	通用格式	发现日期	数学家
可分方程		1691	G. Leibniz
齐次方程		1691	G. Leibniz
线性一阶方程 ODE		1694	G. Leibniz
伯努利		1695	James Bernoulli
Riccati		1724	Count Riccati
正合 (exact) 方程 ODE	其中	1734	L. Euler
Clairaut		1734	A-C. Clairaut
带常系数的线性	其中常量	1743	L. Euler
超几何		1769	L. Euler
Legendre		1785	M. Legendre
贝塞尔		1824	F. Bessel
Mathieu		1868	E. Mathieu
阿贝尔		1834	N. H. Abel
Chini		1924	M. Chini

属于这些类型中的每一种的 ODE 的示例在其他教程中给出（单击表中的链接将显示相关示例）.

一阶 ODE

直接积分

通过简单地关于

积分右侧求解方程：

下面是任意常数 C[1] 的不同值的积分曲线图：

可分方程

该方程的通解是通过变量分离求出：

即使可以分离变量，最终的解也可能伴随来自 Solve 的警告消息，或者它可能只作为一个 InverseFunction 对象给出.

求解 ODE 会生成警告消息，因为 DSolve 使用 Log（Exp 的倒数）获得

的表达式. 此警告消息可以忽略：

这个方程的解是作为 InverseFunction 对象给出的，以获得

的显式表达式：

齐次方程

这是一个齐次方程，其中右侧的分子和分母的总次数为 2. 解列表的两个部分以

的形式给出积分曲线的分支：

这将两个分支绘制在一起，显示了几个 C[1] 值的完整积分曲线

：

如果指定了初始条件，DSolve 将选择通过初始点的分支. DSolve::bvnul 消息指示通解的一个分支（上一个图中的下部分支）没有给出满足给定初始条件 y[1]3 的解：

线性一阶方程

以下是线性一阶 ODE，因为其中的

和

都是 1 次，并且

是最高阶导数. 请注意，该解包含虚误差函数 Erfi：

这是更一般的线性一阶 ODE 的解. K 变量用作积分的虚拟变量. 前一个例子中的 Erfi 术语来自通解的第二项中的积分，如下所示：

通过用诸如

的变量替换 K[1]，可以获得更传统的解形式：

逆线性方程组

给定的 ODE 在中可能不是线性的，但可以被视为中的线性 ODE. 在这种情况下，它被称为反向线性 ODE.

这是一个反向线性 ODE. 它是通过在前面的例子中交换

和

来构造的：

伯努利方程

Bernoulli 方程是以下形式的一阶方程

这种类型方程的问题由 James Bernoulli 在 1695 年提出的. 一年后，在 1696 年，G. Leibniz 表明它可以通过变量的变化简化为线性方程.

以下是伯努利方程的一个例子：

验证解是否正确：

通常，伯努利方程的解将由个分支组成，其中是方程中的的度.

这是一个

的伯努利方程的例子. 该解有四个分支：

Riccati 方程

Riccati 方程是以下形式的一阶方程

该方程被威尼斯的 Count Riccati（1676-1754）用来帮助求解二阶常微分方程.

求解 Riccati 方程比求解线性 ODE 困难得多.

这是一个简单的 Riccati 方程，其解是闭合形式：

任何 Riccati 方程都可以转换为二阶线性 ODE. 如果可以明确地解决后者，则可以导出 Riccati 方程的解.

这是一个 Riccati 方程和相应的二阶 ODE 的例子，它是勒让德方程：

后，考虑以下 Riccati 方程. 它是可积的，因为右侧的项的系数之和为 0：

验证解：

正合 (exact) 方程

正合 ODE 的范例：

验证解：

解的等高线图：

如果方程不正合，则有可能找到积分因子（先前定义的函数 P 和 Q 的乘数），将方程转换为正合形式. DSolve 尝试了各种技术，以便在这种情况下自动找到积分因子.

Clairaut 方程组

Clairaut 方程是以下格式的一阶方程

这个非线性方程的一个显着特征是它的通解具有非常简单的格式.

这是 Clairaut 方程的一个例子：

Clairaut 方程的通解只是一系列直线.

这绘制了几个 C[1] 值的解：

阿贝尔方程组

Abel ODE 是以下格式的一阶方程

这个方程出现在 Niels Henrik Abel 关于椭圆函数理论的研究中，并代表了 Riccati 方程的自然泛化.

与任何 Abel ODE 相关联的是一系列表达式，它们是由方程的系数构建的，并且在自变量和因变量的某些坐标变换下是不变的. 这些不变量表征每个等式，可用于识别可积分的 Abel ODE 类. 特别是，具有零或常数不变量的 Abel ODE 可以很容易地被积分并构成这些方程的重要可积类.

下面是值为 0 的特定不变量的构造以及相应的 Abel ODE 的解：

另一类重要的可积 Abel ODE 是那些可以使用非线性坐标变换简化为逆线性一阶 ODE.

通过将其转换为逆线性一阶 ODE 来求解该 Abel ODE. 该方程解中的 ExpIntegralEi 项来自求解线性 ODE：

另一类重要的可积 Abel ODE 由那些可以转换为反 Riccati 方程组成. 由于 Riccati 方程可以转换为二阶线性 ODE，因此，通常根据 AiryAi 和 BesselJ 等特殊函数给出该类的解.

这个 Abel ODE 通过将其简化为反 Riccati 方程来求解：

验证解：

迄今为止所考虑的 Abel ODE 据说是第一种. 第二种 Abel ODE 由下列通式给出.

可以使用坐标变换将第二类的 Abel ODE 转换为第一类的方程. 因此，这种 Abel ODE 的求解方法与第一类方程的方法相同.

以下是第二种 Abel ODE 的解：

验证解：

Chini 方程组

Chini 方程是 Abel 和 Riccati 方程的泛化.

求解 Chini 方程：

奇异解

默认情况下，DSolve 返回线性或非线性 ODE 的依赖于任意参数的通解. 对于某些非线性 ODE，如 Clairaut 方程或逻辑方程，也可能存在奇异解. 这些奇异解不能通过给通解中的任意常数赋特定值来获得，但在动力系统研究等方面很有用.

DSolve 选项 IncludeSingularSolutionsTrue 返回非线性 ODE 的奇异解和通解.

为了说明这一点，请考虑以下 Clairaut ODE，其通解是一系列直线：

这种情况下，奇异解是直线族的“包络线”(envelope)

：

下图显示了通解以及该直线族形成的包络线：

来看第二个例子，考虑以下逻辑方程：

这种情况下的奇异解是“平衡”解： y=0 和 y=1:

下图显示了通解以及该曲线族形成的包络线：

线性二阶 ODE

综述

求解线性一阶 ODE 很简单，只需要使用合适的积分因子. 形成鲜明对比的是，有许多方法可用于处理线性二阶 ODE，但仍然没有属于该类的一般方程的解. 因此，在进入非线性二阶 ODE 之前，将详细讨论线性情况.

一般线性二阶 ODE 具有格式

这里，、和是的任意函数. 术语“线性”指的是、和中每个项的次数为 1 的事实. （因此，或会使方程非线性.）

常系数方程

最简单类型的线性二阶 ODE 是具有常系数的.

这个线性二阶 ODE 具有常系数：

请注意，通解是两个指数函数的线性组合. 可以改变任意常数 C[1] 和 C[2] 以产生特定的解.

这是方程的一个特定解：

基中的指数和是通过求解关联的二次方程得到的. 该二次方程称为辅助方程或特征方程.

求解辅助方程：

这种情况的根是实数且不同. 还有另外两个感兴趣的案例：实根且相等，以及虚根.

这个范例具有实根且相等：

此示例具有非零虚部的根：

以下是三种解的图：

欧拉和勒让德方程组

欧拉方程具有通用格式

欧拉方程可以通过将它们转换为具有常系数的方程来求解.

这是欧拉方程的一个例子：

勒让德线性方程是欧拉方程的泛化. 它是以下格式的 ODE：

以下是勒让德线性方程的示例：

正合方程组

线性二阶常微分方程

是正合的，如果

通过化简为线性一阶 ODE 来求解正合线性二阶 ODE.

这是一个例子. 这里解释了解中未计算的积分的外观：

验证解：

具有特殊函数解的方程组

DSolve 可以求出应用数学中出现的大多数标准线性二阶 ODE 的解.

以下是 Airy 方程的解：

以下图显示了 Airy 函数对大的负值

的振荡行为：

这个方程的解是根据 Airy 函数的衍生物 AiryAiPrime 和 AiryBiPrime 给出的：

这是

的贝塞尔方程的解. 请注意，解是根据第一类贝塞尔函数 BesselJ 以及第二类 BesselY 的函数给出的：

以下是针对

的特定值的 BesselJ 函数的图：

这是

的勒让德方程的通解：

这些特殊函数可以根据其参数的某些值的基本函数来表示. Wolfram 语言会在任何可能的地方自动执行此转换.

以下是一些自动转换的表达式：

作为这些转换的结果，某些 ODE 的解可以部分地表示为基本函数. Hermite 方程就是这样一个 ODE.

这是任意

的 Hermite 方程的解：

当

设置为 5 时，解是根据多项式，指数和 Erfi 给出的：

可用 Heun 函数表示接下来几个 ODE 的解.

下面是普通 Heun 方程的解：

合流 Heun 方程的解：

用 HeunG 函数表示 Lamé's 方程的通解：

如果

等于 LameEigenvalueA 或 LameEigenvalueB，则用 LameC 或 LameS 函数表示Lamé's 方程的通解：

具有有理系数的方程组

超几何函数在数学分析中起着统一的作用，因为许多重要的函数，例如贝塞尔函数和勒让德函数，都是它们的特例. 每个超几何函数与具有有理系数的线性 ODE 相关联.

这是 Hypergeometric2F1 函数的 ODE：

DSolve 可以通过将超几何函数化简为 ODE 来求解大部分二阶线性 ODE. 化简涉及独立变量和因变量的坐标变换.

对于 Hypergeometric2F1，该方程等价于 ODE：

使用数值验证解：

根据 HypergeometricU （合流超几何函数）和 LaguerreL 返回该方程的解. 此示例显示在（方程 2.16，[K59] 的第 403 页）：)

自十八世纪开始，就对特殊函数的 ODE 进行了研究. 在过去的 30 年中，已经开发了强大的算法来系统地求解具有有理系数的 ODE. 这种类型的一个重要算法是 Kovacic 算法，这是一个决策过程，它为给定的 ODE 产生 Liouvillian 函数的解，或者证明给定的 ODE 没有 Liouvillian 解.

使用 Kovacic 算法求解该方程：

从 Kovacic 算法返回的解有时可能包括诸如 ExpIntegralEi 之类的函数或基本函数的未计算积分，因为一旦知道了一个解，就很容易找到二阶线性 ODE 的第二个解，那么涉及找到第二种解的积分可能难以明确计算.

使用 Kovacic 算法获得该方程的解. 它包括 ExpIntegralEi：

通常，具有有理系数和阶数大于 1 的线性 ODE 的解可以根据 DifferentialRoot 对象给出. 这类似于根据 Root 的多项式方程组的解的表示.

该方程以 DifferentialRoot 方式给出：

可以按常用方式计算和绘制解：

具有非有理系数的方程组

在实际应用中出现的 ODE 通常具有非有理系数. 在这种情况下，DSolve 尝试使用合适的坐标变换将方程转换为具有有理系数的方程.

这是一个以 Exp[x] 为系数的方程. 它通过将其转换为贝塞尔方程来解：

该方程（方程 2.437，[K59] 的第 507 页）) 具有三角系数. 解是以基本函数的形式给出：

Here is an equation with a hyperbolic function in the coefficient of这是在

系数中具有双曲函数的方程. 解是根据勒让德函数形式给出的：

该方程的解是以 HypergeometricU 和 LaguerreL 形式给出：

使用

、

和

的随机值验证解：

非齐次方程组

如果给定的二阶 ODE 是非齐次的，DSolve 应用参数变分法或待定系数法返回问题的解.

求解非齐次二阶线性 ODE. 该解由两部分组成：第一部分是齐次方程的通解，第二部分是通过参数变分法得到的非齐次方程的特解：

求解是欧拉方程的齐次方程：

通过改变解中的常数 C[1] 和 C[2] 可以获得不同的特定解：

如果非齐次项的形式为且其子形式和是的多项式函数，则可用待定系数法求解常系数非齐次线性 ODE.

用待定系数法求解非齐次二阶线性 ODE：

非线性二阶 ODE

非线性二阶 ODE 的一般格式是

简而言之，假设方程可以求解最高阶导数：

只有几类非线性二阶 ODE 可以很容易地找到解.

第一类由不显式依赖于的方程构成；也就是说，方程的格式 . 这样的方程可以看作中的一阶 ODE.

以下是此类型的示例：

与线性二阶 ODE 的情况一样，解取决于两个任意参数 C[1] 和 C[2].

以下是特定参数选择的解的图：

验证解：

第二类易解非线性二阶方程包括不显式依赖于或的方程；也就是说，格式为的方程. 这些方程可以化简为独立变量的一阶 ODE. 需要反函数给出的最终解.

以下是此类型的示例：

第三类包含不显式依赖的方程；也就是说，格式的方程. 同样，这些方程可以化简为带有独立变量的一阶 ODE.

该示例基于（方程 6.40，[K59] 的第 550 页）. 基础一阶 ODE 是 Abel 方程. 解中的双曲线函数源于贝塞尔函数的自动简化：

第四类由一些或所有变量、和的齐次方程组成. 在这种情况下有几种可能性，但这里只考虑以下简单的示例.

在该方程中，每项在变量

、

和

中的总次数为 2. 可以通过将该方程转换为一阶 ODE 求解：

第五类和最后一类易于求解的非线性二阶 ODE 是由正合方程组成，或者可以使用积分因子组成正合.

以下是此类型的示例，基于（方程 6.51，[K59] 第 554 页）：

值得注意的是，相当简单的非线性 ODE 的解可能很复杂. 在这种情况下验证和应用解是一个难题.

更高阶 ODE

综述

具有阶数的 ODE 的一般形式是

与二阶 ODE 的情况一样，这种 ODE 可以分类为线性或非线性. 阶线性 ODE 的一般形式是

如果是零函数，则该方程被认为是齐次的. 该讨论主要限于此种情况.

用于求解线性二阶 ODE 的许多方法可以泛化到阶线性 ODE，其中，大于2. 如果 ODE 的阶数不重要，则简称为线性ODE.

常系数方程

一旦知道辅助方程（或特征方程）的根，就可以容易地求解具有常系数的线性 ODE. 这种类型的一些例子如下.

该 ODE 的特征方程具有实数和不同的根：4、1 和 7. 因此，该解完全由指数函数组成：

该 ODE 的特征方程具有两对相等的根：

和

. 重复的根产生了解的基础，

：

该 ODE 的特征方程有两对具有非零虚部的根：

、

和

. 因此，解的基础可以用三角函数和指数函数表示：

最后，这是一个结合了所有以前的解的例子：

更高阶欧拉和勒让德方程

欧拉方程是是以下格式的 ODE

以下是欧拉方程的一个例子：

勒让德线性方程是欧拉方程的泛化. 具有格式

这是勒让德线性方程：

正合更高阶方程

阶线性常微分方程

是正合的，如果

正合条件可用于将问题简化到求解阶方程的问题.

正合 ODE 的一个范例：

验证正合条件：

求解方程：

验证解：

更高阶方程的更多例子

许多二阶 ODE 的解可以用特殊函数表示. 某些高阶 ODE 的解也可以用 AiryAi、BesselJ 和其他特殊函数表示.

这个三阶 ODE 的解由 Airy 函数的乘积给出：

贝塞尔函数给出了这个三阶 ODE 的解：

该图显示了解在实线不同部分的振荡行为：

这个四阶线性 ODE 的解用 HypergeometricPFQ 表示：

用数值验证解是否正确：

对于二阶线性 ODE，存在用于求解具有有理系数的高阶 ODE 的现代算法. 这些算法给出了“理性指数”解，它是有理函数的积分和有理函数积分的指数的组合. 这些算法与诸如约简阶数的技术相结合，以为给定 ODE 产生的完整的解.

这个方程的通解有一个有理项和取决于 Airy 函数的项. Airy 函数将方程的阶数约简到 2：

到目前为止，考虑的方程都是齐次的；也就是说，没有不含或其导数的项. 如果给定的 ODE 是非齐次的，DSolve 将应用参数变分法或待定系数法来获得解.

下面是这种类型的一个例子. 解中的指数项来自齐次方程的通解，而剩余项是问题的特定解（或特定积分）：

这是齐次方程的通解：

下面的特解是非齐次方程的通解的一部分：

因此，非齐次方程的通解是齐次方程的通解和 ODE 的特定积分之和.

高阶非线性 ODE 的求解方法在很大程度上依赖于将问题简化到一个较低阶.

这是一个非线性的三阶 ODE，没有明确依赖于

或

. 它通过使用简单的积分将阶数简化到 2 来解决：

ODE 方程组

综述

ODE 方程组在各个科学领域都非常重要，例如电力和人口生物学研究. 与单个 ODE 一样，ODE 方程组可以分为线性或非线性.

可用以下形式表示一阶线性 ODE 方程组：

这里是未知函数向量，是未知函数的系数矩阵，是表示方程组的非齐次部分的向量.

在二维情况下，可将方程组更具体地写为：

如果矩阵的所有项都是常数，则方程组被称为常系数线性方程组. 如果是零向量，那么方程组被认为是齐次的.

通过考虑常系数齐次 ODE 方程组，可以阐明线性方程组解的重要全局特征.

线性 ODE 方程组

下面是两个 ODE 组成的方程组，其系数矩阵的特征值为实数且相异：

下面求解方程组. 注意，通解取决于两个任意常数 C[1] 和 C[2]：

下面绘制通过赋给 C[1] 和 C[2] 特定值而获得的一些特解. 在这种情况下，原点被称为节点：

在该方程组中，系数矩阵的特征值是彼此的复共轭：

求解方程组：

下面绘制任意参数取不同值的解. 对于具有复特征值的方程组，螺旋线非常典型：

也可以使用向量变量和矩阵变量以矩阵形式求解线性 ODE 方程组.

用向量变量求解线性 ODE 方程组：

用矩阵变量求解由四个方程组成的线性 ODE 方程组：

绘制解：

求解任意阶常系数齐次 ODE 方程组比较简单. 只需将它们转换为一阶 ODE 方程组即可.

求解 3 阶常系数齐次 ODE 方程组：

验证解：

通常，具有非恒定系数的线性 ODE 方程组只在系数矩阵结构简单的情况下有解，如下例所示.

下面的一阶方程组具有对角线系数矩阵. 方程组是解耦的，因为第一个方程仅涉及

，第二个方程只依赖于

. 因此，其中的每个方程都可以独立于另一个方程进行积分：

该方程组的系数矩阵的行形成一组正交向量：

这是一个由三个一阶 ODE 组成的方程组. 系数矩阵是上三角形矩阵：

对于单个 ODE，存在用于求解具有有理系数的 ODE 方程组的复杂现代算法.

下面求解具有有理系数的两个一阶 ODE 组成的方程组. 请注意，解完全由有理函数组成：

在以下示例中，算法找到了

和

的一个有理解. （含有

的方程独立于方程组中的其他方程.）使用有理解，DSolve 能够找到

和

余下的指数解：

到目前为止，所考虑的方程组都是齐次的. 如果方程组是非齐次的（即，如果存在不含任何因变量及其导数的项），则 DSolve 应用参数变分法或待定系数法来找到通解.

用参数变分法求解非齐次方程组：

通过将值赋给常数 C[1] 和 C[2]，可获得系统的特解.

为参数赋值，绘制解：

用待定系数法求解非齐次方程组：

非线性 ODE 方程组

下面是可以使用 DSolve 以符号方式求解的非线性 ODE 方程组的两个例子.

方程组由四个非线性 ODE 组成，前三个方程可以独立求解，因为它们的右侧都不依赖于

、

或

：

下面由两个非线性 ODE 组成的方程组是自治的，因为方程的右边不依赖于

：

前两个例子表明，简单方程组的解通常是自变量的复杂表达式. 事实上，解经常是以隐式形式给出的，因此可能包含 InverseFunction 对象或未计算的 Solve 对象.

具有李对称性的非线性 ODE

大约在 1870 年，Marius Sophus Lie 意识到可以使用群论来统一许多解微分方程的方法. 李对称方法是现代研究非线性 ODE 的方法的核心. 该方法使用对称概念以系统的方式生成解. 以下是 Lie 的方法的简要介绍，它提供了 DSolve 以这种方式求解的一些例子.

Lie 方法的一个关键概念是对称群的无穷小生成元. 以下范例说明了此概念.

这是众所周知的

平面旋转变换. 这是一个参数

的单参数变换群：

对于固定值，点（蓝色）可以通过在逆时针方向上以角度旋转连接（红色）与原点的直线来获得.

通过的旋转可以由矩阵表示

这表明平面中所有旋转的集合满足形成群的属性：

李对称方法需要计算群的表达式的一阶近似. 这种近似称为无穷小发生元.

下面将

和

的关于

的级数表达式在原点 0 附近展开，以获取线性近似：

的线性项的系数分别是

和

. 平面中旋转群的无穷小生成元被定义为以下微分算子：

从无穷小生成元开始，可通过对基本的李方程组进行积分来恢复原始群. 对于旋转群，李方程由 DSolve 的第一个参数给出，如下所示：

旋转群出现在几何物体对称性的研究中；它是对称群的一个例子. 无穷小生成元是一个微分算子，是这个对称群的一个方便的局部表示，它是一组矩阵.

在无穷小生成元的作用下约简为 0 的表达式称为该群的不变量.

以下是该群的不变量：

这表明从原点到

的距离，即

，在旋转下保留：

在下面的例子中，该结论被应用于微分方程.

这是 Riccati 方程的一个例子，来自 [I99] 的第 103 页：

在以下缩放变换下，方程是不变的：

按前面所述的方法找到这个单参数变换群的无穷小生成元：

现在，Riccati 方程依赖于三个变量：、和 . 因此，必须延展无穷小发生元以对该一阶方程中的所有三个变量进行操作.

结果表明，所需的延展如下：

这表明以

坐标给出的 Riccati 方程的表达式在 prolongedv 下确实是不变的：

根据给定方程的阶数，可通过三种方式使用对称性知识（以无穷小的发生元的形式）.

如果方程的阶数是 1，它就为 ODE 提供了一个积分因子，使方程正合，从而可解.
它给出了一组正则坐标，使得方程的形式变得较为简单(可积).
它将求解阶 ODE 的问题简化为求解阶 ODE 的问题，通常是一个更简单的问题.

DSolve 函数检查给定 ODE 中的某些标准类型的对称性，并使用它们返回解. 以下是三个 DSolve 使用这种对称方法求解 ODE 的例子.

这是一个非线性一阶 ODE（方程 1.120，[K59] 的第 315 页）：

此 ODE 与以下无穷小生成元具有对称性：

这种对称性的存在允许 DSolve 计算积分因子并返回解：

验证解：

这是一个二阶非线性 ODE，基于 [K59] 第 213 页的方程 6.93：

在以下缩放变换下，该方程是不变的：

这种缩放对称性的存在允许 DSolve 找到新的坐标，其中自变量没有显式出现. 因此问题很容易解决：

验证解：

最后，下面是一个由两个非线性一阶 ODE 组成的方程组，可以通过使用平移求解：

. 平移之后，方程组变得自治（它不显式依赖于

），因此可以通过将

作为

的函数，将其约简为一阶 ODE 来求解. 可以忽略 Solve::ifun 消息；它是在反转 Exp[v] 的表达式时生成的，它给出了一个以 Log 表示的表达式：

分数阶微分方程

分数阶微分方程 (FDE) 是涉及分数阶导数的微分方程. 是常微分方程的推广，引起了人们的广泛关注，并广泛应用于工程、物理、化学、生物学等领域.

DSolve 可求解含有 Caputo 导数 CaputoD 的任意线性常系数 FDE.

下面是一个半阶 FDE 的例子：

验证解：

下面是另一个含有 21/10 阶 Caputo 导数的 FDE：

解是用 MittagLefflerE 函数表示的，该函数是分数阶微积分应用的基本函数. 它在 FDE 的解中的作用类似于 Exp 函数在 ODE 的解中的作用和重要性：可用 Mittag–Leffler 函数求解任意常系数 FDE.

对于 Caputo 类型的 FDE，总是可以给出因变量的整数阶导数的初始条件. 初始条件的数量取决于 FDE 的阶数，它等于 .

下面求解上个例子的初值问题：

绘制解：

下面的例子求解有四个初始条件的

阶 FDE：

解的曲线：

DSolve 也可以求解一些常系数线性 FDE 方程组. 其中，所有方程的阶数必须相同且 .

两个 16/17 阶 FDE 组成的方程组：

绘制解：

以参数化方式绘制解：

另一个例子，用向量变量解三个 FDE 组成的方程组：

绘制解：

对常微分方程的讨论到此结束.

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