Wolfram言語＆システムドキュメントセンター

AlternatingHarmonicNumber

AlternatingHarmonicNumber[n]

番目の交代調和数を与える．

AlternatingHarmonicNumber[n,r]

次数の番目の交代調和数を与える．

AlternatingHarmonicNumber[n,r,s]

次数で修飾値がの番目の交代調和数を与える．

詳細

AlternatingHarmonicNumberは，符号が交互に振動する逆数和によって表される，HarmonicNumberの交代的類似物である．
AlternatingHarmonicNumber は，組合せ論，整数論，量子場理論等の分野で使われる．
記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
正の整数について，1引数のAlternatingHarmonicNumberは $TemplateBox[{n}, AlternatingHarmonicNumber]=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i+1)/i$ で与えられる．
任意のについて，はLog[2]-(-1)ⁿ LerchPhi[-1,1,1+n]によって与えられる解析接続を許容する．
正の整数について，2引数のAlternatingHarmonicNumberは $TemplateBox[{n, r}, AlternatingHarmonicNumber2]=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i+1)/i^r$ で与えられる．
任意のについて，は2^-r ((-2+2^r) Zeta[r]-(-1)ⁿ Zeta[r,]+(-1)ⁿ Zeta[r,])によって与えられる解析接続を許容する．
正の整数について，3引数のAlternatingHarmonicNumberは $TemplateBox[{n, r}, AlternatingHarmonicNumber2](s)=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i+1)s^i/i^r$ によって与えられる．
任意のについて，は(-s)¹⁺ⁿ LerchPhi[-s,r,1+n]-PolyLog[r,-s]によって与えられるa解析接続を許容する．
交代調和級数はに収束する．
交代調和級数は $(1-2^(1-r)) TemplateBox[{r}, Zeta]=TemplateBox[{r}, DirichletEta]$ に収束する．
交代調和級数はに収束する．
AlternatingHarmonicNumberは任意の数値精度で評価できる．
AlternatingHarmonicNumberは自動的にリストに縫い込まれる．
Sum，RSolve，GeneratingFunction，ExponentialGeneratingFunction，ZTransform，DirichletTransformは，AlternatingHarmonicNumberを含む入力の処理メソッドを含んでいる．

例題

すべて開くすべて閉じる

例 (4)

最初の10個の交代調和数：

Wolfram Language code: Table[AlternatingHarmonicNumber[n], {n, 10}]

実数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ReImPlot[AlternatingHarmonicNumber[t], {t, 0, 5}]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[AlternatingHarmonicNumber[z], {z, -1 - I, 1 + I}, ...]

原点における級数展開：

Wolfram Language code: Series[AlternatingHarmonicNumber[x], {x, 0, 3}]

スコープ (22)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[4, 1 / 2]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[AlternatingHarmonicNumber[3], 50]

Wolfram Language code: N[AlternatingHarmonicNumber[3, 5], 50]

Wolfram Language code: N[AlternatingHarmonicNumber[3, 5, 1 / 2], 50]

複素数入力：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[4, 1 + I]

Wolfram Language code: N[AlternatingHarmonicNumber[27 + I, 5]]

Wolfram Language code: N[AlternatingHarmonicNumber[2 + 1 / 2I, 5 - I, I]]

高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[13, 5`100]//Timing

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[5 / 7, 5`1000];//Timing

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪のケースでも保証される区間を計算する：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[2, Interval[{2.1, 2.2}]]

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[1 / 2, CenteredInterval[3 / 4, 1 / 1000]]

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[ 3 / 2, Around[2.1, 0.01]]

配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[2, {{1 / 2, 2}, {2, 1 / 2}}]

MatrixFunctionを使って行列AlternatingHarmonicNumber関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[AlternatingHarmonicNumber[2, #]&, {{1 / 2, 2}, {2, 1 / 2}}]//FullSimplify

特定の値 (6)

記号のについてのAlternatingHarmonicNumber[n,r]：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[4, r]

記号的についてのAlternatingHarmonicNumber[n,r]：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n, 4]//FunctionExpand

0における値：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[0]

における値：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[∞]

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[∞, r]

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[∞, r, s]

AlternatingHarmonicNumber[n]=0.5となるの値を求める：

Wolfram Language code: nval = Chop[n /. FindRoot[AlternatingHarmonicNumber[n] == 0.5, {n, 1}], 10^-6]//Quiet

Wolfram Language code: Plot[Abs[AlternatingHarmonicNumber[n]], {n, 0, 5}, Rule[...]]

分数引数の交代調和数を初等関数で表す：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[1 / 2]//FunctionExpand

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[7 / 3]//FunctionExpand

関数の特性 (7)

AlternatingHarmonicNumberの実領域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[AlternatingHarmonicNumber[x], x]

複素領域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[AlternatingHarmonicNumber[z], z, Complexes]

AlternatingHarmonicNumberの実数範囲：

Wolfram Language code: FunctionRange[AlternatingHarmonicNumber[x], x, y]//Quiet

AlternatingHarmonicNumberは解析関数ではない：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[AlternatingHarmonicNumber[x], x]

AlternatingHarmonicNumberは非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[AlternatingHarmonicNumber[x], x]

AlternatingHarmonicNumberは特異点も不連続点も持たない：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[AlternatingHarmonicNumber[x], x]

Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[AlternatingHarmonicNumber[x], x]

AlternatingHarmonicNumberは凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[AlternatingHarmonicNumber[x], x]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: TraditionalForm[{AlternatingHarmonicNumber[n], AlternatingHarmonicNumber[n, r], AlternatingHarmonicNumber[n, r, s]}]

級数展開 (3)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[AlternatingHarmonicNumber[n], {n, 0, 3}]

の周囲の最初の３つの近似をプロットする：

Wolfram Language code:

terms = Normal@Table[Series[AlternatingHarmonicNumber[n], {n, 0, m}], {m, 1, 5, 2}];
ReImPlot[{AlternatingHarmonicNumber[n], terms}, {n, 0, 10}, PlotRange -> {-30, 30}]

1における級数展開：

Wolfram Language code: Series[AlternatingHarmonicNumber[n], {n, 1, 3}]

無限大における級数展開：

Wolfram Language code: Series[AlternatingHarmonicNumber[n], {n, ∞, 5}]

アプリケーション (10)

和 (3)

AlternatingHarmonicNumberを含む有限オイラー和：

Wolfram Language code: Sum[n^2AlternatingHarmonicNumber[n, 3], {n, 1, k}]

AlternatingHarmonicNumberを含む無限オイラー和：

Wolfram Language code: Sum[((1/2))^n(AlternatingHarmonicNumber[n, 3]/n^4), {n, 1, ∞}]

HarmonicNumberとAlternatingHarmonicNumberの積を含む有限オイラー和：

Wolfram Language code: Sum[(HarmonicNumber[n, 2]AlternatingHarmonicNumber[n]/3^nn^2), {n, 1, ∞}]

再帰方程式 (2)

強制項にAlternatingHarmonicNumberを含む再帰方程式を解く：

Wolfram Language code: RSolveValue[{x[k] - 2x[k - 1] == AlternatingHarmonicNumber[k], x[1] == 1}, x[k], k]

強制項のHarmonicNumberとAlternatingHarmonicNumberの積，および前置係数：

Wolfram Language code: RSolveValue[{x[k] + 6x[k - 1] == k * HarmonicNumber[k] * AlternatingHarmonicNumber[k], x[1] == 1}, x[k], k]

母関数 (3)

AlternatingHarmonicNumberのGeneratingFunctionを計算する：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[AlternatingHarmonicNumber[n, 2], n, x]

HarmonicNumberとAlternatingHarmonicNumberの積のGeneratingFunctionを計算する：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[HarmonicNumber[n]AlternatingHarmonicNumber[n, 3], n, x]

StirlingS1とAlternatingHarmonicNumberの積のExponentialGeneratingFunctionを計算する：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[StirlingS1[n, 3]AlternatingHarmonicNumber[n, 2], n, x]

D離散変換 (2)

AlternatingHarmonicNumberの2乗のZTransformを計算する：

Wolfram Language code: ZTransform[AlternatingHarmonicNumber[n, 2] ^ 2, n, z]

AlternatingHarmonicNumber（有理数前置係数付きののDirichletTransformを計算する：

Wolfram Language code: DirichletTransform[(1 / 2)^nAlternatingHarmonicNumber[n, 2], n, s]

特性と関係 (9)

AlternatingHarmonicNumberはSumで直接計算できる：

Wolfram Language code: Sum[((-1)^i + 1/i), {i, 1, n}] == AlternatingHarmonicNumber[n]

Wolfram Language code: Sum[((-1)^i + 1/i^r), {i, 1, n}] == AlternatingHarmonicNumber[n, r]

Wolfram Language code: Sum[((-1)^i + 1s^i/i^r), {i, 1, n}] == AlternatingHarmonicNumber[n, r, s]

のとき，はに簡約される：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n, 1] === AlternatingHarmonicNumber[n]

のとき，はに簡約される：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n, r, 1] === AlternatingHarmonicNumber[n, r]

整数について，AlternatingHarmonicNumberはを使って表すことができる：

Wolfram Language code: (AlternatingHarmonicNumber[n] == HarmonicNumber[n] - HarmonicNumber[Floor[n / 2]]) /. n -> 10

AlternatingHarmonicNumberは装飾されたHarmonicNumberを使って表すことができる：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n] === -HarmonicNumber[n, 1, -1]

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n, r] === -HarmonicNumber[n, r, -1]

AlternatingHarmonicNumberは装飾されたMultipleHarmonicNumberを使って表すことができる：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n] === -MultipleHarmonicNumber[n, {1}, {-1}]

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n, r] === -MultipleHarmonicNumber[n, {r}, {-1}]

漸化式の恒等式：

Wolfram Language code:

(AlternatingHarmonicNumber[z + 1] == AlternatingHarmonicNumber[z] + ((-1)^z/Sqrt[(1 + z)^2]))//FunctionExpand//FullSimplify

AlternatingHarmonicNumber，LerchPhi，Zetaの各関数の関係：

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n] == -(-1)^n LerchPhi[-1, 1, 1 + n] + Log[2]//FullSimplify

Wolfram Language code:

AlternatingHarmonicNumber[n, r] == 2^-r ((-2 + 2^r) Zeta[r] + (-1)^n (-Zeta[r, (1 + n/2)] + Zeta[r, (2 + n/2)]))//FullSimplify

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[n, r, s] == (-s)^1 + n LerchPhi[-s, r, 1 + n] - PolyLog[r, -s]//FullSimplify

AlternatingHarmonicNumber はにおいて，Zeta，DirichletEta，PolyLogを用いて表現できる:

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[∞, r] == (1 - 2^-r + 1)Zeta[r] == DirichletEta[r]//FullSimplify

Wolfram Language code: AlternatingHarmonicNumber[∞, r, s] == -PolyLog[r, -s]//FullSimplify

有理式 expr がを法としてであるかどうかを判定するために，フェルマー商とユーティリティmodZeroQを定義する：

Wolfram Language code: fermatQuotient[a_, p_Integer ? PrimeQ] := (a ^ (p - 1) - 1) / p;

Wolfram Language code:

modZeroQ[expr_, m_Integer] := Module[{t = Together[expr], num, den}, num = Numerator[t];den = Denominator[t];
	If[CoprimeQ[den, m], Mod[num * PowerMod[den, -1, m], m] == 0, False]
	];

多くの素数に渡って，mod-p と $TemplateBox[{{p, -, 1}}, AlternatingHarmonicNumber] = 2 q_p(2) (mod p)$ が合同であることを検証する：

Wolfram Language code: AllTrue[Prime[Range[100]], modZeroQ[AlternatingHarmonicNumber[# - 1] - 2 fermatQuotient[2, #], #]&]

のとき，mod-p² と $TemplateBox[{{p, -, 1}}, AlternatingHarmonicNumber] = 2 q_p(2) -p q_p(2)^2 (mod p^2)$ が合同であることを検証する：

Wolfram Language code:

AllTrue[Prime[Range[3, 100]], modZeroQ[AlternatingHarmonicNumber[# - 1] - (2 fermatQuotient[2, #] - # fermatQuotient[2, #] ^ 2), # ^ 2]&]

Top

その他のラーニングリソース

テクニカルサポート

Wolframソリューション

教育のためのWolframソリューション

使い始める

Grow Your Skills

Wolframと繋がる

大人用の教育プログラム

若者のための教育プログラム

読む

AlternatingHarmonicNumber

詳細

例題

例 (4)

スコープ (22)

数値評価 (6)

特定の値 (6)

関数の特性 (7)

級数展開 (3)

アプリケーション (10)

和 (3)

再帰方程式 (2)

母関数 (3)

D離散変換 (2)

特性と関係 (9)

テキスト

CMS

APA

BibTeX

BibLaTeX

AlternatingHarmonicNumber

詳細

例題

例 (4)

スコープ (22)

数値評価 (6)

特定の値 (6)

関数の特性 (7)

級数展開 (3)

アプリケーション (10)

和 (3)

再帰方程式 (2)

母関数 (3)

D離散変換 (2)

特性と関係 (9)

関連項目

関連するガイド

履歴

テキスト

CMS

APA

BibTeX

BibLaTeX