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BilateralLaplaceTransform[expr,t,s]

expr の両側ラプラス(Laplace)変換を与える．

BilateralLaplaceTransform[expr,{t1,t2,…,tn},{s1,s2,…,sn}]

expr の多次元両側ラプラス変換を与える．

詳細とオプション
Details and Options Details and Options
例題  
例  
スコープ  
一変量関数  
多変量関数  
数値評価  
形式的特性  
オプション  
Assumptions  
GenerateConditions  
PrincipalValue  
WorkingPrecision  
特性と関係  
おもしろい例題  
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BilateralLaplaceTransform

BilateralLaplaceTransform[expr,t,s]

expr の両側ラプラス(Laplace)変換を与える．

BilateralLaplaceTransform[expr,{t1,t2,…,tn},{s1,s2,…,sn}]

expr の多次元両側ラプラス変換を与える．

詳細とオプション

  • 関数 の両側ラプラス変換は と定義される．
  • 多次元両側ラプラス変換は で与えられる．
  • 第3引数 s が数値で与えられているなら積分は数値法を使って計算される．
  • の両側ラプラス変換は であるような の複素数値についてのみ存在する．場合によってはこの定義が半平面まで及ぶことがある．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • AccuracyGoalAutomatic目標とする絶対確度の桁数
    Assumptions $Assumptionsパラメータについての仮定
    GenerateConditions Trueパラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
    MethodAutomatic使用するメソッド
    PerformanceGoal$PerformanceGoal最適化しようとするパフォーマンスの局面
    PrecisionGoalAutomatic目標とする精度の桁数
    PrincipalValue Falseコーシー(Cauchy)主値を求めるかどうか
    WorkingPrecision Automatic内部計算精度

例題

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例  (3)

数直線上で指数関数的に減衰する関数を定義する：

Wolfram Language code: f[t_] := E ^ (-Abs[t])
Wolfram Language code: Plot[f[t], {t, -3, 3}]

その両側ラプラス変換を計算する：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[f[t], t, s]

両側ラプラス変換の複素数プロット：

Wolfram Language code: ComplexPlot[%[[1]], {s, -2 - 2I, 2 + 2I}]

単一の点における両側ラプラス変換を計算する：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[E ^ (-3Abs[t]), t, 0.3]

多変量関数の両側ラプラス変換を計算する：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[-Abs[x]]UnitStep[y], {x, y}, {s, p}]

スコープ  (20)

一変量関数  (8)

UnitStep関数の両側ラプラス変換：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[UnitStep[t], t, s]

UnitBox関数の両側ラプラス変換：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[UnitBox[t], t, s]

UnitTriangle関数：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[UnitTriangle[t], t, s]

ベキ関数：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[(t^n - 1/(n - 1)!)UnitStep[t], t, s]
Wolfram Language code: FullSimplify[%, n∈ PositiveIntegers]

指数関数：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[-Abs[t / 2 - 1]], t, s]
Wolfram Language code: ComplexPlot[%[[1]], {s, -1 - I, +1 + I}]

DiracDelta：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[DiracDelta[t - T], t, s]

区分関数：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Piecewise[{{Exp[-2t], t > 1}, {Exp[-t], t ≤ 1}}], t, s]

余弦関数と指数関数の積：

Wolfram Language code: f[t_] := Cos[10t]Exp[-Abs[t]]
Wolfram Language code: Plot[f[t], {t, -3, 3}]
Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[f[t], t, s]

両側ラプラス変換の複素数プロット：

Wolfram Language code: ComplexPlot[%[[1]], {s, -15 - 15I, 15 + 15I}]

多変量関数  (2)

多変量関数の両側ラプラス変換：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[E ^ (-x ^ 2 - y ^ 2), {x, y}, {s, p}]

多変量区分関数：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[UnitStep[x - y]UnitStep[y], {x, y}, {s, p}]

数値評価  (2)

両側ラプラス変換を単一点で計算する：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[UnitTriangle[t ^ 2 - 1], t, 5.6]

あるいは，ラプラス変換を記号的に計算することもできる：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[UnitTriangle[t ^ 2 - 1], t, s]

次に の特定の値について評価する：

Wolfram Language code: % /.  s -> 5.6

関数によっては両側ラプラス変換が数値的にしか評価できないものもある：

Wolfram Language code: F[s_ ? NumericQ] := BilateralLaplaceTransform[UnitTriangle[t / 10] BesselJ[1, Cos[t ^ 2]], t, s]
Wolfram Language code: F[1.67]

数値だけを使って両側ラプラス変換をプロットする：

Wolfram Language code: DiscretePlot[F[n / 100.], {n, -150, 150}, PlotRange -> {-1, 1}]

形式的特性  (8)

BilateralLaplaceTransformは線形演算子である：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[a f1[t] + b f2[t], t, s]

の両側ラプラス変換は， で評価された のラプラス変換に等しい：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[a t]f[t], t, s]

スケーリング：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[f[a * t], t, s]

時間シフト：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[f[t - a], t, s]

両側ラプラス変換のたたみ込み特性：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Convolve[f[τ], g[τ], τ, t], t, s]

時間領域における微分：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[f'[t], t, s]

正の整数乗を使った関数の t による乗算：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[t ^ 2f[t], t, s]
Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[t ^ 5f[t], t, s]

時間領域における積分：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Integrate[f[τ], {τ, -Infinity, t}], t, s]

オプション  (4)

Assumptions  (1)

Assumptionsを使ってパラメータの範囲を指定する：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[ -a t ^ 2], t, s, Assumptions -> a > 0]

GenerateConditions  (1)

GenerateConditionsをFalseに設定して条件なしの結果を得る：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[UnitStep[t + 5] Exp[-t], t, s, GenerateConditions -> False]

PrincipalValue  (1)

以下の関数の両側変換は における特異点のために定義されない：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[(UnitStep[-t]/t + 1), t, s]

PrincipalValueを使って積分のコーシー主値を得る：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[(UnitStep[-t]/t + 1), t, s, PrincipalValue -> True]

WorkingPrecision  (1)

WorkingPrecisionを使って結果を任意精度で得る：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[-(5t^4/t^2 + 1)]Sin[t], t, 5.1]
Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[-(5t^4/t^2 + 1)]Sin[t], t, 5.1, WorkingPrecision -> 10]
Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[-(5t^4/t^2 + 1)]Sin[t], t, 5.1, WorkingPrecision -> 20]

特性と関係  (2)

BilateralLaplaceTransformとInverseBilateralLaplaceTransformは互いに互いの逆関数である：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[InverseBilateralLaplaceTransform[F[s], s, t], t, s]
Wolfram Language code: InverseBilateralLaplaceTransform[BilateralLaplaceTransform[f[t], t, s], s, t]

NIntegrateを使って数値近似を得る：

Wolfram Language code: BilateralLaplaceTransform[Exp[-t ^ 2] Sin[t], t, s]
Wolfram Language code: % /. {s -> 1.4}

NIntegrateは両側ラプラスパラメータ s の数値について変換を計算する：

Wolfram Language code: NIntegrate[Exp[-1.4 t] Exp[-t ^ 2]Sin[t], {t, -Infinity, Infinity}]

おもしろい例題  (1)

基本的な両側ラプラス変換の表を作成する：

Wolfram Language code: flist = {DiracDelta[t], Derivative[1][DiracDelta][t], UnitStep[t], -UnitStep[-t], (t^n - 1 UnitStep[t]/Gamma[n]), -(t^n - 1 UnitStep[-t]/Gamma[n]), Exp[-a t] UnitStep[t], -Exp[-a t] UnitStep[-t], ((Exp[-a t] UnitStep[t]) t^n - 1/Gamma[n]), -((Exp[-a t] UnitStep[-t]) t^n - 1/Gamma[n]), DiracDelta[t - T], Cos[t] UnitStep[t], -Cos[t] UnitStep[-t], Sin[t] UnitStep[t], -Sin[t] UnitStep[-t], (Cos[t] UnitStep[t]) Exp[-a t], (-Cos[t] UnitStep[-t]) Exp[-a t], (Sin[t] UnitStep[t]) Exp[-a t], (-Sin[t] UnitStep[-t]) Exp[-a t]};
Wolfram Language code: Grid[Prepend[{#, Assuming[{b∈ℝ, a∈ℝ}, Simplify[BilateralLaplaceTransform[#1, t, s]]]}& /@ flist, {f[t], BilateralLaplaceTransform[f[t], t, s]}], IconizedObject[«Grid options»]]//TraditionalForm
Wolfram Research (2021), BilateralLaplaceTransform, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralLaplaceTransform.html.

テキスト

Wolfram Research (2021), BilateralLaplaceTransform, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralLaplaceTransform.html.

CMS

Wolfram Language. 2021. "BilateralLaplaceTransform." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralLaplaceTransform.html.

APA

Wolfram Language. (2021). BilateralLaplaceTransform. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralLaplaceTransform.html

BibTeX

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BibLaTeX

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