最小化 ，其中约束为 和 ：

几个线性不等式约束可以使用 VectorGreaterEqual 表示：

使用 v>= 或者 \[VectorGreaterEqual] 输入向量不等式符号 ：

使用标量不等式的等效形式：

使用向量变量 ：

由于在 中可能的线程，不等式 可能与 不同：

要避免在 中的意外线程，使用 Inactive[Plus]：

使用常数参数方程，以避免 中的意外线程：

VectorGreaterEqual 表示关于 "NonNegativeCone" 的圆锥不等式：

明确指定圆锥的尺寸，使用 {"NonNegativeCone",n}：

求解：

最小化 ，其中约束为 ：

使用带有 "NormCone" 的圆锥不等式，指定约束 ：

求解：

在正半定矩阵约束 下最小化 ：

求解：

使用向量变量 和 Indexed[x,i] 以指定单个分量：

使用 Vectors[n,Reals] 在向量变量可能不明确时指定其尺寸：

使用 NonNegativeReals () 指定非负约束：

使用向量不等式的等价形式 ：

最大化矩形的面积，其周长最多为 1，高度最多为宽度的一半：

当 和 为正时，该问题可以通过 GeometricOptimization 方法求解：

使用方法 GeometricOptimization 隐式假定为正：

使用 Integers 指定整数变量：

使用 Vectors[n,Integers] 指定向量变量的整数域约束：

使用 NonNegativeIntegers ()指定非负整数域约束：

使用 NonPositiveIntegers ()指定非正整数域约束：

使用 Complexes 指定复变量：

最小化含有复变量和受限于复约束条件 的实目标函数 ：

令 . 将约束条件展开为实数分量可以得到：

对具有实值目标函数、复变量和复约束条件的问题进行求解：

求解具有实变量和实约束条件的相同问题：

使用含有埃尔米特矩阵 和实值变量的二次目标函数 ：

使用含有埃尔米特矩阵 和复变量的目标函数 (1/2)Inactive[Dot][Conjugate[x],q,x]：

使用含有埃尔米特矩阵 和实值变量的二次约束条件 ：

使用含有埃尔米特矩阵 和复变量的约束条件 (1/2)Inactive[Dot][Conjugate[x],q,x]d：

求具有最小2-范数（最大奇异值）的埃尔米特矩阵，使得矩阵 为半正定：

最大奇异值的最小值为：

使用具有埃尔米特或实对称矩阵的线性矩阵不等式约束 ：

线性矩阵不等式中的变量必须是实数才能使和保持为埃尔米特矩阵：

在三角形 和圆盘 的相交区域上最小化 ：

得到作为向量的原始最小化程序：

得到最小值：

绘制解的图形：

最小化约束为 和 的 ：

对偶问题是为了最大化约束为 的 ：

由于强对偶性，原始最小值和对偶最大值重合：

这等同于对偶间隙为零. 一般地，在最优点 ：

直接使用解的属性获取对偶最大值和对偶最大化程序：

"DualMaximizer" 可以通过下式获得：

对偶最大化程序矢量分区与对偶圆锥的数量和尺寸匹配：

要获取特定问题类型求解程序的对偶格式，需将其指定为方法选项：

"SCS" 是拆分圆锥求解器方法：

"CSDP" 是半定问题的内点法：

"DSDP" 是半定问题的替代内点法：

"IPOPT" 是非线性问题的内点法：

不同的方法具有不同的默认公差，这会影响准确性和精度：

计算精确和近似解：

"SCS" 的默认公差为 ：

"CSDP"、"DSDP" 和 "IPOPT" 的默认公差为 ：

当指定方法 "SCS" 时，将调用该方法并使用 SCS 库的默认公差 10^-3：

当使用默认选项时，该问题可通过公差为 10^-6 的方法 "SCS" 求解：

对转换为半定约束的约束使用方法 "CSDP" 或 "DSDP"：

使用方法 "CSDP" 求解问题：

使用方法 "DSDP" 求解问题：

当 "CSDP" 和 "DSDP" 不适用时，使用方法 "IPOPT" 获取精确解：

"IPOPT" 生成比 "SCS" 更准确的结果，但通常要慢得多：

与方法 "SCS" 的时间比较：

选项 PerformanceGoal 的默认值为 $PerformanceGoal：

使用 PerformanceGoal"Quality" 以获得更准确的结果：

使用 PerformanceGoal"Speed" 可以更快地获得结果，但以牺牲质量为代价：

比较所用时间：

目标 "Speed" 给出较不准确的结果：

较小的 Tolerance 设置给出更精确的结果：

使用 Minimize 计算确切的最小值：

用不同的 Tolerance 设置计算最小值的误差：

可视化最小值误差相对于公差的变化：

较小的 Tolerance 设置会给出更精确的答案，但计算需要的时间可能更长：

较小的公差给出更精确的答案：

默认工作精度为 MachinePrecision：

如果可能，使用 WorkingPrecisionInfinity 将给出确切的解：

WorkingPrecision 而不是 MachinePrecision 和 ∞ 将尝试使用具有扩展精度支持的方法：

使用 WorkingPrecisionAutomatic 将尝试使用输入问题的精度：

使用 24 位精度求解二次目标的问题：

当前没有使用精确算法求解二次目标问题的方法. 当不支持所要求的精度时，则计算使用机器数：

最大化约束为 的 . 通过对目标函数进行负转换来求解最大化问题：

对原始最小值求负以得到相应的最大值：

最小化约束为 的 . 由于约束 非凸，因此使用半定约束使凸性明确：

当且仅当矩阵的所有左上子矩阵的行列式均为非负值时，才是正半定矩阵：

求解：

最小化 ，约束为 ，假定当 时， 成立. 使用辅助变量 ，目标变为最小化 ，使得 ：

检查 是否意味着 ：

舒尔补条件是指，如果 ，当且仅当 时，分块矩阵 . 因此当且仅当 时， . 使用 Inactive[Plus] 构造约束以避免线程化：

在以 为中心的椭圆上最小化 ：

上镜图（Epigraph）变换可用于构造具有线性目标以及附加变量和约束的问题：

这种形式的问题可以直接使用 ConicOptimization 求解：

通过最小化 来最小化 ，其中 是非递减函数. 对于这两个问题，原始最小化器 将保持不变. 考虑最小化 ，其约束为 ：

的最小值可以通过将 应用于 的最小值来获得：

ConvexOptimization 将自动执行此转换：

求 ，使得线性依赖于决策变量 的对称矩阵 的最大特征值最小. 由于 等价于 ，其中 是 的第 个特征值，该问题可以表述为线性矩阵不等式. 定义线性矩阵函数 ：

实对称矩阵 可以用正交矩阵 对角线化使得 . 因此当且仅当 时， . 由于任何 ，认为 ， ，因此当且仅当 时，. 数值模拟表明这些公式是等效的：

得到的问题：

运行蒙特卡洛模拟以检查结果的合理性：

求 ，使的对称于决策变量 的对称矩阵 的最小特征值最大. 定义线性矩阵函数 ：

这个问题可以表述为线性矩阵不等式，因为 等价于 ，其中 是 的第 个特征值. 要最大化 ，需最小化 ：

运行蒙特卡洛模拟以检查结果的合理性：

求 ，使得线性依赖于决策变量 的对称矩阵 的最大和最小特征值之差最小. 定义线性矩阵函数 ：

这个问题可以表述为线性矩阵不等式，由于 等价于 ，其中 是 的第 个特征值. 求解得到的问题：

在这种情况下，最小和最大特征值重合，差为0：

最小化线性依赖于决策变量 的对称矩阵 的最大特征值（按绝对值）：

最大特征值满足 的最大（按绝对值）负特征值是 的最大特征值并满足 ：

求 ，使得线性依赖于决策变量 的对称矩阵 的最大奇异值 最小化：

的最大奇异值 是 的最大特征值的平方根，并且根据前面的示例，它满足 ，或者等价于 ：

绘制结果的图形：

对于包括椭圆体、二次锥和抛物面在内的二次集合 ，确定 是否成立，其中 是对称矩阵， 为向量， 为标量：

假定集合 是全维度的，S-procedure 表示，当且仅当存在某个非负数 使得 成立时， . 直观地看到存在一个非负数 ：

考虑到可行性，将 0 用作目标函数. 由于 λ≥0，因此 ：

最小化面积为 4 的矩形的对角线长度，使得宽度加上高度的三倍小于 7：

求半径为 1 的两个圆盘之间的最小距离，圆盘的中心分别为 和 . 设 为圆盘 1 上的一个点. 设 为 圆盘 2 上的一个点. 目标是最小化 ，约束为 ：

可视化两点的位置：

两点之间的距离是：

求表面积最大为 1 的椭圆体在体积最大时主轴 的半长：

表面积可以通过以下方式近似：

通过最小化其倒数使体积最大化：

结果是一个球. 如果对轴的长度附加约束条件将使结果发生改变：

求包围给定区域的最小包含球的半径 和中心 ：

最小化受约束条件 限制的半径 ：

可视化最小包含球：

可通过 BoundingRegion 高效地找到最小包含球：

求凸多边形的解析中心. 解析中心是使约束的距离乘积最大化的点：

凸多边形的每个边可以表示为半平面 的交线. 提取线性不等式：

目标是最大化 . 对目标求 并取反，变换后的目标是 ：

使用辅助变量 ，变换后的目标是 ，约束为 ：

可视化中心的位置：

测试椭球是否是形式为 的另一个椭球的子集：

使用 S-procedure 可以证明，当且仅当 时，椭圆 2 是椭圆 1 的子集：

检查条件是否满足：

将椭圆体转换为显式形式，并确认椭圆 2 在椭圆 1 内：

移动椭圆 2，使其与椭圆 1 重合：

现在进行测试表明该问题是不可行的，这表明椭球 2 不是椭球 1 的子集：

求恰好可以放置到凸多边形中的、参数为 的、面积最大的椭圆：

凸多边形的每段可以表示为半平面 的交点. 提取线性不等式：

将参数化应用于半平面，可以得出 . 项 . 因此，约束条件为 ：

最大化面积等价于最小化 ，这也等价于最小化 ：

将参数化的椭圆转换为显式形式 ：

通过最小化体积，找到参数化为 、包括三维中的一组点的最小椭球体：

对于每个点 ，必须满足约束条件 ：

最小化体积等价于最小化 ，这也等价于最小化 ：

将参数化的椭圆转换为显式形式 ：

也可以使用 BoundingRegion 得到包围椭圆体（体积不一定是最小的）：

对于给定矩阵 a 和向量 b，最小化 ，约束条件为 ：

将三次曲线拟合到离散数据，以使数据的第一个和最后一个点位于曲线上：

使用 DesignMatrix 构造矩阵：

定义约束，使第一个点和最后一个点必须位于曲线上：

通过最小化 求系数 ：

将拟合度与数据进行比较：

通过最小化 来求对非线性离散数据的离群值较不敏感的拟合：

使用基础 拟合数据. 插值函数将是 ：

求解：

可视化拟合：

将插值函数与参考函数进行比较：

对于复数 ，通过最小化 来求对复数数据的 正则化拟合：

对于基 ，使用 DesignMatrix 构建矩阵 ：

求系数 ：

令 为根据 的实部和虚部定义的拟合：

可视化 的实部的结果：

可视化 的虚部的结果：

用平方和多项式 表示给定的多项式 ：

目的是找到 使得 ，其中 是单项式的向量：

构造对称矩阵 ：

求 和 的多项式系数，并确保它们相等：

求 的元素：

二次项 ，其中 是由 的 Cholesky 分解获得的下三角矩阵：

将平方和多项式与给定的多项式进行比较：

找到将两组点 和 分开的直线 ：

为了分开，集合 1 必须满足 ，集合 2 必须满足 ：

目标是最小化 ，这给出了 和 之间厚度的两倍：

分隔线是：

求将两组三维点 和 分开的二次多项式：

使用 DesignMatrix 构造两个集合的二次多项式数据矩阵：

为了分开，集合 1 必须满足 ，集合 2 必须满足 ：

通过最小化 来求分离多项式：

分离两组点的多项式为：

绘制将两个数据集分开的多项式：

将给定的点集 分成不同的组. 这通过最小化 以找到每个组的中心 得到，其中 是给定的本地内核， 是给定的惩罚参数：

内核 是 -近邻（）函数，使得 ，或者 . 对于此问题，选择 个最近邻：

目标 是：

求组的中心：

对于每个数据点，都有一个对应的中心. 属于同一组的数据将具有相同的中心值：

提取并绘制分组的点：

求服务位于 的客户所需的各种基站 的位置和范围 ：

每个基站消耗的功率与其范围成正比，由 给出. 目的是最大程度地降低功耗：

令 为决策变量，如果客户 被基站 覆盖，则用 表示：

每个基站必须位于能覆盖一些客户的位置：

每个基站可覆盖多个客户：

每个基站都有最小和最大覆盖范围：

收集所有变量：

求基站的位置及其范围：

提取基站的位置和范围：

可视化基站相对于客户所处地点的位置和范围：

求如何在六只股票之间分配资本 ，在最大程度地降低风险的同时最大化回报：

回报为 ，其中 是由每只股票的预期回报值组成的向量：

风险由 给出； 为规避风险的参数，且 ：

目标是最大化收益，同时在指定的风险规避参数的情况下最大程度地降低风险：

可用 模拟买卖股票对股票市场价格的影响，该模型通过上镜图变换用幂锥来模拟：

权重 必须大于 0，权重加上市场影响成本必须加起来为 1：

对于一系列风险规避参数计算收益和相应的风险：

在 范围内的最优 给出了收益和风险之间的权衡上限：

计算指定数量的风险规避参数的权重：

通过考虑市场成本，可以获得低风险规避参数的多样化投资组合，但是当风险规避参数较高时，由于购买的是分散程度较低的股票，市场影响成本占主导地位：

通过寻找在总变化范数下最接近的图像来恢复受损的图像：

通过随机删除 40％ 的数据点来创建损坏的图像.

目标是最小化 ，其中 是图像数据：

假设任何非零数据点 均未损坏. 对于这些位置，令 ：

求解并显示还原的图像：