Minimize

Minimize[f,x]

关于 x 符号式最小化 f.

Minimize[f,{x,y,…}]

关于 x、y、… 符号式最小化 f.

Minimize[{f,cons},{x,y,…}]

在约束条件 cons 限制下符号式最小化 f.

Minimize[…,x∈rdom]

将 x 限制在区域或域 rdom 内.

Minimize[…,…,dom]

把变量限制在 dom 域内，一般为 Reals 或 Integers.

更多信息和选项

  • Minimize 亦称为下确界、符号优化和全局优化 (GO).
  • Minimize 求给定约束条件限制下 f 的全局最小值.
  • Minimize 通常用于求给定约束条件下可能的最小值. 在不同的领域，这可能被称为最佳策略、最佳方案、最佳配置等.
  • Minimize 返回形如 {fmin,{x->xmin,y->ymin,…}} 的列表.
  • 如果 f 和 cons 是线性的或是多项式，Minimize 总是求全局最小值.
  • 约束条件 cons 可以是以下表达式的任意逻辑组合：
  • lhs==rhs等式
    lhs>rhs, lhs≥rhs, lhs<rhs, lhs≤rhs不等式 (LessEqual、…)
    lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs, lhsrhs不等式 (LessEqual、…)
    Exists[…], ForAll[…]量化的条件
    {x,y,…}∈rdom区域或域的指定
  • Minimize[{f,cons},x∈rdom] 实际上等价于 Minimize[{f,cons∧x∈rdom},x].
  • 对于 x∈rdom，可用 Indexed[x,i] 来指代不同的坐标.
  • 可能的域 rdom 包括：
  • Reals实标量变量
    Integers整数标量变量
    Vectors[n,dom] 中的向量变量
    Matrices[{m,n},dom] 中的矩阵变量
    ℛ限制在几何区域 中的向量变量
  • 默认情况下，假定所有变量都是实数.
  • 如果给定精确的输入，Minimize 将返回精确的结果. 如果给定近似的输入，它会自动调用 NMinimize.
  • Minimize 将返回以下形式的结果：
  • {fmin,{xxmin,…}}有限的最小值
    {∞,{xIndeterminate,…}}不可行，即约束集为空
    {-∞,{xxmin,…}}无界，即 f 的值可以是任意小的值
  • 如果最小值只能在无穷小的位置取得（极限位置超出约束条件所定义的域），或是只能取得无限接近的值，Minimize 的返回值为下确界或是最接近极限值的可列举的点.
  • 即使在多个点达到相同的最小值，也只返回一个.
  • N[Minimize[…]] 调用 NMinimize 来解决不能以符号形式求解的优化问题.
  • 当计算结果时，Minimize[f,x,WorkingPrecision->n] 使用 n 位精度. »

范例

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基本范例  (5)

一元函数的最小值：

多元函数的最小值：

求符合约束条件的函数的最小值：

含参数函数的最小化问题：

在几何区域上求函数的最小值：

画出图形：

范围  (36)

基本用法  (7)

在不受限的实数上最小化 ：

在约束条件 的限制下最小化 ：

约束条件可以包含任意逻辑组合：

无界问题：

不可行的问题：

可能无法达到下确界：

使用向量变量和向量不等式：

单变量问题  (7)

不受限的单变量多项式的最小化：

受限的单变量多项式的最小化：

Exp-log 函数：

有界约束条件上的解析函数：

周期函数：

具有可公度周期的三角函数的组合：

具有不可公度周期的周期函数的组合

分段函数：

利用函数属性信息即可求解的不受限问题：

多变量问题  (9)

多元线性约束条件下的最小化：

线性分式约束条件下的最小化：

没有约束条件的多项式最小化：

约束条件下的多项式优化总是可解的：

可能无法获得最小值：

目标函数可能是无界的：

可能没有满足约束条件的点：

量化的多项式约束条件：

代数最小化：

有界超越最小化：

分段最小化：

凸最小化：

最小化凸目标函数 ，使得 为半正定且 ：

绘制区域和最小化点：

参数化问题  (4)

参数化线性优化：

最小值是参数的连续函数：

参数化二次优化：

最小值是参数的连续函数：

不受限的参数化多项式的最小化：

约束条件下的参数化多项式的最小化：

在整数上优化  (3)

单变量问题：

整数线性规划：

整数上的多项式最小化：

在区域上优化  (6)

在区域上最小化：

绘制这些值：

求两个区域间的最小距离：

绘制这些值：

求使得三角形和椭圆仍然相交的最小的 ：

绘制这些值：

求包含给定的三个点的半径最小的圆盘：

绘制这些值：

用 Circumsphere 直接给出同样的结果：

用 指定 是 中的一个向量：

求两个区域间的最小距离：

绘制这些值：

选项  (1)

WorkingPrecision  (1)

求精确值可能会花费较长时间：

例如：WorkingPrecision->100，可以得出精确的最小值，但是结果可能是错误的：

应用  (10)

基本应用  (3)

求单位面积矩形的最小周长：

求单位面积三角形的最小周长：

最小周长的三角形是等边三角形：

求轴上一点到抛物线的距离：

假设参数 和 有特殊的关连：

几何距离  (6)

通过 Minimize[EuclideanDistance[p,q],q∈ℛ]，可以求出区域 ℛ 中的点到某个给定点 p 的最小距离， 以及实现该最小距离的点 q. 求单位 Disk[] 中距 {1,1} 最近的点和最小的距离：

画出图形：

求标准单位单纯形 Simplex[2] 中距 {1,3/4} 最近的点和最小的距离：

画出图形：

求标准单位球面 Sphere[] 上距 {1,1,1} 最近的点和最小的距离：

画出图形：

求标准单位单纯形 Simplex[3] 中距 {-1/3,1/3,1/3} 最近的点和最小的距离：

画出图形：

可以用 Minimize[EuclideanDistance[p,q],{p∈,q∈}]来找出距离最近的两个点 p∈ 和 q∈ 以及它们之间的距离. 找出 Disk[{0,0}] 和 Rectangle[{3,3}] 中距离最近的两个点以及它们之间的距离：

画出图形：

找出 Line[{{0,0,0},{1,1,1}}] 和 Ball[{5,5,0},1] 中距离最近的两个点以及它们之间的距离：

画出图形：

几何中心  (1)

如果 ℛ⊆n 是一个全维区域， 则切比雪夫中心是 ℛ 的最大内接球的中心. 可以用 Minimize[SignedRegionDistance[ℛ,p], p∈ℛ] 来计算 ℛ 的最大内接球的中心和半径. 求 Rectangle[] 的最大内接球的切比雪夫中心和半径：

求 Triangle[] 的最大内接球的切比雪夫中心和半径：

属性和关系  (6)

Minimize 得出目标函数精确的总体最小值：

NMinimize 试图得出一个总体最小值，但也可能得出的是极小值：

设定一个起始点，FindMinimum 得出起始点后的第一个极小值：

如果信息没有其它提示，最小值点满足约束条件：

求约束条件中的一点， 使该点与点 {2,}的距离最近：

如果取不到最小值， Minimize 可能会给出一个边界上的点：

当 y 趋近于无穷时，目标函数趋近于最小值：

Minimize 可以解决线性规划问题：

LinearProgramming 可用于求解以矩阵符号形式给出的同一个问题：

算出最小值：

用 RegionDistance 和 RegionNearest 计算距离以及最近的点：

用 Minimize 可以进行同样的计算：

用 RegionBounds 计算边界盒：

用 Maximize 和 Minimize 来计算同一个边界盒：

可能存在的问题  (1)

Minimize 要求所有输入的函数为实值函数：

满足方程的值的平方根必须是实数：

Wolfram Research (2003)，Minimize，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Minimize.html （更新于 2021 年）.

文本

Wolfram Research (2003)，Minimize，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Minimize.html （更新于 2021 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2003. "Minimize." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/Minimize.html.

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Wolfram 语言. (2003). Minimize. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Minimize.html 年

BibTeX

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