DiscreteLimit

DiscreteLimit[f,k∞]

给出序列 f[k] 当 k 趋近于无穷大的整数时的极限 k∞f(k).

DiscreteLimit[f,{k1,…,kn}]

给出整数上的嵌套极限 ⋯ f(k1,…,kn).

DiscreteLimit[f,{k1,…,kn}{,…,}]

给出整数上的多变量极限 f(k1,…,kn).

更多信息和选项

  • DiscreteLimit 亦称为离散极限或整数上的极限.
  • DiscreteLimit 计算序列 f 当变量 k 或 ki 变得任意大时的极限值.
  • 可用 f 来输入 DiscreteLimit[f,k∞]. 可用 dlim 来输入模板 ，用 把光标从底部移动到主体.
  • 可用 …f 来输入 DiscreteLimit[f,{k1,…,kn}{,…,}].
  • 的极限值为 ±∞.
  • 对于有限值 f*：
  • DiscreteLimit[f,k∞]f*对于每一个 ，有一个 ，使得 实质蕴涵 TemplateBox[{{{f, (, k, )}, -, {f, ^, *}}}, Abs]<epsilon
    DiscreteLimit[f,{k1,…,kn}{∞,…,∞}]f*对于每一个 ，有一个 ，使得 实质蕴涵 TemplateBox[{{{f, (, {{k, _, 1}, ,, ..., ,, {k, _, n}}, )}, -, {f, ^, *}}}, Abs]<epsilon
  • DiscreteLimit[f[k],k-∞] 等价于 DiscreteLimit[f[-l],l∞] 等.
  • 当可以证明极限不存在时，DiscreteLimit 返回 Indeterminate，如果无法找到极限，则不进行计算，直接返回.
  • 可以给出下列选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的假设
    GenerateConditions Automatic是否为参数生成条件
    Method Automatic所用的方法
    PerformanceGoal "Quality"优化的目标
  • GenerateConditions 的可能设置包括：
  • Automatic只汇报非通用条件
    True汇报所有条件
    False不汇报条件
    None如果需要条件，则不进行计算，直接返回
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 如果设置为 "Quality"， DiscreteLimit 通常能求解更多问题或产生更简单的结果，但会需要更多时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)

序列的极限：

绘制序列和它的极限：

多变量序列的极限：

绘制序列和它的极限：

用 dlim 输入模板 ，用 把光标从底部移动到主体：

TraditionalForm 排版：

范围  (37)

基本用法  (4)

计算当 n 趋近于 Infinity 时序列的极限：

计算当 n 趋近于 -Infinity 时序列的极限：

计算多变量序列的嵌套极限：

计算一系列序列的极限：

初等函数序列  (7)

求有理序列的极限：

几何函数序列：

指数函数序列：

三角函数序列：

反三角函数序列：

对数函数序列：

求 ArcTan[Log[n]] 的极限：

整数函数序列  (5)

计算二项式序列的极限：

涉及 FactorialPower 的序列的极限：

涉及 Factorial 的序列的极限：

计算涉及 Fibonacci 和 LucasL 的序列的极限：

涉及 Pochhammer 的极限：

交错序列  (3)

收敛交错序列：

发散交错序列：

振荡交错序列：

周期序列  (3)

涉及周期序列的极限：

最终周期序列：

密集非周期序列：

分段函数序列  (3)

收敛分段函数序列：

发散分段函数序列：

周期性条件下的分段函数序列：

涉及 Floor 的极限：

数论函数序列  (4)

计算涉及 Prime 的极限：

Prime 接近于 ：

涉及 PrimePi 的极限：

PrimePi 接近于 ：

涉及 PartitionsP 和 PartitionsQ 的极限：

涉及其它数论函数序列的极限：

嵌套和多变量序列  (2)

计算嵌套序列的极限：

绘制序列和它的极限：

多变量序列的极限：

形式序列  (6)

计算涉及 Inactive 和的序列的极限：

Inactive 和的嵌套极限：

交换 DiscreteLimit 和 Sum 的顺序，分两步计算，获得同样的结果：

涉及 Inactive 积的序列的极限：

Inactive 积的嵌套极限：

交换 DiscreteLimit 和 Product 的顺序，分两步计算，获得同样的结果：

涉及 Inactive 连分数的序列的极限：

Inactive 连分数的嵌套极限：

通过运用 DiscreteLimit 和 ContinuedFractionK，分两步计算，获得同样的结果：

选项  (6)

Assumptions  (1)

指定参数的假设：

不同的假设会给出不同的结果：

GenerateConditions  (3)

不陈述条件，返回结果：

只有 y>1 时结果才有效：

如果结果取决于参数的值，则不进行计算，直接返回：

默认情况下，会生成返回唯一结果的条件：

默认情况下，如果只有特殊值使结果无效，则不会生成条件：

当设置为 GenerateConditions->True 时，即便是非通用条件，也会汇报：

Method  (1)

用缺省方法计算序列的极限：

通过调用 Limit 获取同样的答案：

所给序列不是周期性的，因此针对周期性序列的方法没有用：

PerformanceGoal  (1)

DiscreteLimit 计算周期为任意长度的序列的极限：

用 PerformanceGoal 来避免此种花费时间较长的计算：

Method 选项会覆盖 PerformanceGoal：

应用  (35)

几何极限  (3)

半径为 r、边数为 n 的正多边形的周长：

当 n->∞ 时，周长趋近于半径为 r 的圆的周长：

半径为 r、边数为 n 的正多边形的面积：

当 n->∞ 时，面积趋近于半径为 r 的圆的面积：

可视化当 n 增加时内接多边形及其近似周长和面积：

考虑用 2n 个圆柱覆盖半径为 r 的球，如图所示：

圆柱的体积为：

取当 n->Infinity 时的 DiscreteLimit 给出球的体积：

与直接算出的结果比较：

考虑下列函数和一组由其定义的长方形：

在区间 [0,2] 上，n5，长方形为：

这些矩形的面积定义了近似曲线下面积的黎曼和：

用 DiscreteLimit 获取精确答案：

用 Integrate 直接获得同样的面积：

可视化该函数及其它三个函数的计算过程：

和与积  (6)

用求有限和的极限的方式计算无限和：

用 Sum 获得同样的答案：

以下序列定义了一个收敛级数：

求级数的值：

用 Sum 直接计算结果：

证明无穷级数是发散的，从有限个项的和开始：

级数是发散的，因为有限和的极限不存在：

用 SumConvergence 和 Sum 确认级数是发散的：

用 Regularization 获取级数的阿贝尔和：

用有限和的嵌套极限计算双重无穷和：

用 Sum 直接获取同样的答案：

用有限积的极限计算无穷积：

用 Product 获取同样的答案：

用重复无穷小变换的极限构造旋转矩阵：

与直接构建的结果相比较：

级数收敛  (4)

用比例检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

计算该级数的 DiscreteRatio：

级数收敛，因为比值的极限小于 1：

用 SumConvergence 验证结果：

用根检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

级数收敛，因为第 n 个根的极限小于 1：

用 SumConvergence 验证结果：

用 Raabe 检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

Raabe 检验法在此是适用的，因为比例检验法的结果不确定：

级数收敛，因为下式的极限大于 1：

用 SumConvergence 验证结果：

用发散检验法来检验一般项由下式给出的级数的收敛性：

级数收敛，因为一般项的极限不是 0：

用 SumConvergence 验证结果：

经典定义  (3)

证明下列序列收敛于 0，并用 ϵ=1/7 检验经典定义：

计算极限：

设置 的值：

用 Reduce 显示对于所有的 n>=12，定义成立：

用 DiscretePlot 验证结果：

证明下列序列发散于 Infinity，并用 M=35 检验经典定义：

计算极限：

设置 M 的值：

用 Reduce 显示对于所有的 n >= 10，定义成立：

用 DiscretePlot 验证结果：

确定各项由下式给出的调和级数 的收敛性：

标准检验，如比例检验给出的结果不确定：

定义以下辅助级数 ：

的项由长度为 的 项组成：

请注意 ：

每串的和为 ，所以前 个项的和为 :

的部分和被称为调和数 TemplateBox[{n}, HarmonicNumber]：

对于任意正整数 ，TemplateBox[{{2, ^, {(, {{2, , M}, -, 2}, )}}}, HarmonicNumber]>=sum_(n=1)^(2^(2 M-2))a(n)=M，所以 TemplateBox[{n}, HarmonicNumber] 最终会超过 ，并发散于 ：

这意味着 的和不收敛：

但发散是较慢的，要多于 个项才能超过 :

递归序列  (3)

计算用 RSolveValue 指定的非线性递归序列的极限：

计算用 RSolveValue 指定的三角递归序列的极限：

计算 的值：

数学常数  (5)

用序列的极限计算 的值：

用 Sum 的极限计算 的值：

用序列的极限计算 的值：

用序列的极限计算 EulerGamma：

用涉及 Fibonacci 的序列计算黄金比例：

数学函数  (2)

用项为符号的序列的极限表示 ：

用序列的极限表示 Log[x]：

Stolz–Cesàro 定理  (2)

Stolz–Cesàro 定理是 L'Hôpital 规则的离散版本，在合适的条件下可用于计算序列之比的极限. 该定理指出：

在由下式定义的序列上验证 Stolz–Cesàro 定理：

计算差分比的极限：

用 DiscreteLimit 直接获取同样的结果：

绘制序列和极限：

在由下式定义的序列上验证 Stolz–Cesàro 定理：

计算差分比的极限：

用 DiscreteLimit 直接获取同样的结果：

绘制序列和极限：

计算复杂性  (3)

一个算法运行时间函数 被认为是 "little-o of "，写作 ，如果 ：

同样， 还被认为是 "little-omega of "，写作 ，如果 ：

如果 ，那么 ：

两个函数不可能共享两种关系：

而且，函数和自身之间也不存在这两种关系：

因此， 和 在算法运行时间空间 (runtime space) 上定义了部分关系：

对于较大的输入，如果与 关联的算法要比与 关联的算法快的多，则 ：

则表示相反的关系：

请注意这两者不是完全相反的，因为 和 是无法相比的：

一个算法运行时间函数 被认为是 "big-theta of "，写作 ，如果下式成立：

假如一个算法需要 （次数为 的多项式）这么长的时间来运行：

该函数与单项式 的比在无穷大处趋近于首项系数 ：

由于序列的极限存在，其最大和最小极限必须都必须等于此值：

对于算法运行时间， 必须是一个正的有限大的数字，所以每个多项式算法都可写为 ：

因此，在确定大型输入的运行时间时，只有多项式中的首项很重要：

研究快速傅里叶变换的渐进复杂度：

计算渐进复杂度：

均匀收敛  (2)

在 的每一个点上，下列函数序列 都收敛于零：

每个 在 处达到最大幅值：

因此，对于任意 ， 意味着对于所有 ，TemplateBox[{{{f, _, n}, (, x, )}}, RealAbs]<epsilon，且收敛是均匀的：

因此，积分的极限等于极限的积分：

在 的每一个点上，下列函数序列 都收敛于零：

然而，在点 处的 的最大值在 时是发散的：

这表明函数序列的收敛是不均匀的：

因此，积分的极限不等于极限的积分：

其它应用  (2)

用 Post 的反演公式计算 的拉普拉斯逆变换：

该函数的拉普拉斯逆变换是 1：

用 InverseLaplaceTransform 获取同样的结果：

用 Post 的反演公式创建一个基本拉普拉斯逆变换表：

随机变量序列的概率分布的极限（如果存在）称为渐进分布. 用二项式分布序列的渐进分布获得泊松分布，其中均值 λ、概率和试验次数的乘积保持不变：

计算试验次数n->∞ 时序列的极限：

验证这是 PoissonDistribution 的 PDF：

绘制 λ=8 及 n 取不同值时的分布. 注意 k>n 时 PDF 为零：

属性和关系  (15)

乘数常数可以被移到极限外面：

如果 f 和 g 的极限为有限值，则 DiscreteLimit 在和上满足分配律：

如果 f 和 g 的极限为有限值，则 DiscreteLimit 在乘积上满足分配律：

可以将幂移到极限外面：

对于连续函数，函数组合和序列的极限运算可以互换：

对于不连续函数则不成立：

"squeezing" 或 "sandwich" 定理：

在正整数上，该函数被限制在 内：

边界函数的极限为零，这证明原来的极限为零：

Stolz–Cesàro 规则可被原来求两个序列的比的极限：

直接求解极限会得到类型为 的不确定形式：

应用 Stolz–Cesàro 规则正确计算极限：

如果 Limit 存在，则 DiscreteLimit 也存在，且它们的值相同：

反过来则不成立：

如果 DiscreteLimit 存在，则 DiscreteMaxLimit 也存在，且它们的值相同：

如果 DiscreteLimit 存在，则 DiscreteMinLimit也存在，且它们的值相同：

差分的极限满足 TemplateBox[{{{f, (, {n, +, 1}, )}, -, {f, (, n, )}}, n, infty}, DiscreteLimit]=TemplateBox[{{{(, {f, (, n, )}, )}, /, n}, n, infty}, DiscreteLimit]：

比的极限满足 TemplateBox[{{{(, {f, (, {n, +, 1}, )}, )}, /, {(, {f, (, n, )}, )}}, n, infty}, DiscreteLimit]=TemplateBox[{{{f, (, n, )}, ^, {(, {1, /, n}, )}}, n, infty}, DiscreteLimit]：

用有限和计算序列的极限：

用有限积计算序列的极限：

序列的极限通过终值定理与其 ZTransform 相关：

验证终值定理：

巧妙范例  (1)

可视化一套序列极限：

Wolfram Research (2017)，DiscreteLimit，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLimit.html.

文本

Wolfram Research (2017)，DiscreteLimit，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLimit.html.

CMS

Wolfram 语言. 2017. "DiscreteLimit." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLimit.html.

APA

Wolfram 语言. (2017). DiscreteLimit. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteLimit.html 年

BibTeX

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