Sin

Sin[z]

给出 z 的正弦.

更多信息

  • 数学函数，适宜于符号和数值运算.
  • Sin 的参数除非明确为一个 Quantity 对象，否则假设以弧度为单位.（乘以 Degree 即可从度做单位转换.） »
  • 当 Sin 的自变量是 的一个简单有理数倍数时，自动计算；对于更复杂的有理数倍数，某些时候可以使用FunctionExpand. »
  • 对于某些特定参数，Sin 自动计算出精确值.
  • Sin 可以计算到任意数值精度.
  • Sin 自动逐项作用于列表的各个元素. »
  • Sin 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

  • Sin 是正弦函数，三角学中的基本函数之一. 对于实数变量它的定义如下：设 是一个点从 轴出发，沿着单位圆的圆周逆时针走过的弧度值，则 Sin[x] 给出了圆弧上这个点的纵坐标. 直角三角形中一个锐角 的正弦值在教科书上的等价定义是 角的对边边长与弦长的比值.
  • 当变量是 的简单有理数倍时，Sin 会自动计算出精确值. 对一些更复杂的有理倍数，FunctionExpand 有时可用于算得显式的精确值. 若要使用角度值的变量，则可用符号 Degree 作为乘数（例如 Sin[30 Degree]）. 当给出精确数值表达式作为变量时，Sin 可以算出任意精度的数值结果. 对包含 Sin 的符号表达式，其他适用的操作运算有 TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
  • Sin 自动逐项作用于列表和矩阵. 相比之下，MatrixFunction 则可用于给出整个方阵的正弦值（即用矩阵幂次代替普通幂次的正弦函数的幂级数）.
  • Sin 是周期函数，周期为 ，可由 FunctionPeriod 算出. Sin 满足恒等式 ，这其实与勾股定理等价. 正弦函数的定义可由等式 扩展到复数变量 上，其中 是自然对数的底数. 正弦函数是整函数，也就是说它在复平面的每个有限点处都是复可微的. Sin[z] 在原点处的级数展开为 .
  • Sin 的反函数是 ArcSin. 双曲正弦函数是 Sinh. 其他相关的数学函数有 Cos、Tan 和 Csc.

范例

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基本范例  (5)

自变量以弧度单位给出：

用 Degree 以度为单位来指定一个自变量：

在实数子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在 0级数展开：

范围  (52)

数值运算  (6)

数值计算：

高精度求值：

输出的精度与输入的精度一致：

Sin 可以使用复数输入：

用高精度高效计算 Sin：

自动逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Sin 函数：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

特殊值  (6)

固定点的 Sin 值：

在 π 的有理倍数上，Sin 有精确值：

无穷处的值：

自动生成简单明确值：

在更多复杂实例中直接 FunctionExpand：

Sin 的零点：

Sin 的极值：

求作为 的根的第一个正极大值：

代入结果：

可视化结果：

可视化  (3)

绘制 Sin 函数：

绘制 实部：

绘制 虚部：

极坐标图：

函数属性  (13)

Sin 被定义为所有实数和复数：

Sin 的值域是 和 1 之间的所有实数：

复数参数的值域是整个平面：

Sin 是周期函数，周期为 ：

Sin 是奇函数：

Sin 具有镜像属性 sin(TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{{sin, (, z, )}}, Conjugate]：

Sin 是 x 的解析函数：

Sin 在特定范围内是单调的：

Sin 不是单射函数：

Sin 不是满射函数：

Sin 既不是非负，也不是非正：

Sin 没有奇点或断点：

Sin 既不凸，也不凹：

当 x 在 [0,π] 上时，Sin 是凹的：

TraditionalForm 格式：

微分  (3)

一阶导：

高阶导：

第 阶导：

积分  (3)

使用 Integrate 计算不定积分：

一个周期上 Sin 的定积分为 0：

更多积分：

级数展开  (4)

使用 Series 求泰勒展开：

绘制 附近，Sin 的前 3 个近似：

使用 SeriesCoefficient 获取级数展开的广义项：

傅立叶级数：

可将 Sin 应用于幂级数：

积分变换  (3)

用 FourierTransform 计算傅立叶变换：

LaplaceTransform：

MellinTransform：

函数恒等与简化  (6)

使用 TrigExpand 的双角公式：

角和公式：

多角表达式：

使用 TrigReduce 恢复原始表达式：

使用 TrigFactor 把和转换为乘积：

使用 ComplexExpand 展开，假设实变量 x 和 y：

使用 TrigToExp 转换为指数：

函数表示  (5)

使用 Simplify 通过 Cos 找到表示：

通过贝塞儿函数的表示：

通过 SphericalHarmonicY 的表示：

MeijerG 的表示：

Sin 可以表示为 DifferentialRoot：

应用  (15)

绘制一个圆：

Lissajous 图形：

等角 (对称) 螺旋：

在圆内的行为：

播放 440 Hz 的纯音调：

求出谐振动的方程：

旋转矩阵：

旋转向量：

绘制一个球体：

绘制一个 torus：

二维波：

三元周期曲面：

在黎曼–Weierstras 函数的任何可微处的近似：

圆形孔径的夫琅和费衍射图案的强度与衍射角的关系：

将图形编码成二维码：

解码并计算表达式：

用 Cos 和 Sin 函数求单位圆上的一个点：

属性和关系  (13)

自动用于奇偶转换：

包含三角函数的复杂表达式不能自动化简：

与逆函数的组合：

1 弧度等于 度：

求解一个三角方程：

求出一个超越方程的数值解：

化简一个三角方程：

Fourier 转换：

Sin 出现在多个数学函数的特例中：

Sin 是一个数值函数：

Sin 可被表示为 DifferentialRoot：

Sin 的母函数：

Sin 的指数母函数：

可能存在的问题  (6)

机器精度输入不足以获得正确结果：

精确的输入，结果是正确的：

需要提高 $MaxExtraPrecision 的设置：

机器数的输入可以给出高精度结果：

用 FunctionExpand 以根式表示有理数乘以 的正弦：

关于 Sin[x] 的有理函数可以给出不连续的不定积分：

在 TraditionalForm 中，需要在自变量外设置圆括号：

巧妙范例  (5)

非对称曲线 (准周期函数)：

一些自变量可以表示为嵌套根式的有限序列：

的不定积分：

Chladni 图形：

绘制积分点的 Sin：

Wolfram Research (1988)，Sin，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Sin.html （更新于 2021 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Sin，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Sin.html （更新于 2021 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Sin." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/Sin.html.

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Wolfram 语言. (1988). Sin. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Sin.html 年

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