最初差分と2番目の差分を計算する：

最初の差分と2番目の差分を刻み幅 h で計算する：

一次偏微分 ：

より高次の偏微分 ：

刻み幅 r と s の偏微分：

DifferenceDeltaはリストに縫い込まれる：

多項式関数：

各差分が次数を1低くする：

FactorialPowerは，離散操作に関しては，一般にPowerよりも便利である：

FunctionExpandを使っていつでもPower表現に変換することができる：

FactorialPowerにDifferenceDeltaを使うとPowerにDを使うのと同じ効果がある：

有理関数：

有理関数の差分は有理関数のままである：

FactorialPowerの負のベキは有理関数である：

差分は極めて単純である：

PolyGammaの差分は有理関数である：

離散計算におけるPolyGammaは連続計算におけるLogと同じような役割を演じる：

HarmonicNumberとZetaもまた有理関数の差分を生成する：

指数関数：

指数関数の差分は指数関数のままである：

一般的な n 番目の差分：

二項ベキ はDifferenceDeltaについて，のDについての役割と同じ役割を演じる：

多項式指数関数：

多項式指数関数は多項式指数関数のままである：

有理指数関数：

有理指数関数は有理指数関数のままである：

LerchPhiに指数を掛けたものの差分は有理指数関数である：

三角関数と双曲線関数：

三角関数の差分は三角関数のままである：

超幾何項：

一般的な超幾何項は有理DiscreteRatioを含むものとして定義できる：

超幾何関数の差分は有理関数に超幾何項を掛けたものを生成する：

q 超幾何項の差分は入力の q 有理倍である：

ホロノミック数列：

次数2のホロノミック数列：

i についてのGammaRegularizedの差は超幾何額項である：

同様にBetaRegularizedについて：

MarcumQについての差はBesselIによって表される：

総和：

総和記号のもとで差分を取る：

総和の極限について差分を取る：

積：

積の極限について差分を取る：

積分：

積分の極限の差分を取る：

極限：

ここでは i 変数にスコープがあり，自由ではない：

不定和分の答を検証する：

厳密な差分形式を構築する：

不定和分は定数分異なるかもしれない：

DifferenceDeltaを使って差分方程式を定義する：

DifferenceDeltaを通して数列についての記号的なMean演算子を定義する：

上記を任意の特殊数列に使う：

後退差分演算子を定義する：

上記を任意の特殊数列と操作に使う：

対称差分演算子を定義する：

上記を任意の特殊関数と演算子に使う：

階乗ベキ級数を定義する：

階乗級数は多項式について，その階数が次数よりも大きい場合に厳密なものとなる：

この級数は，InterpolatingPolynomialで計算されるニュートン(Newton)級数でもある：

一般関数の階乗ベキ級数近似：

次数が高くなるとよりよい近似が得られる：

階乗ベキ級数は一連の点の位置で厳密に補間する：

厳密に1点で一連の導関数を補間するベキ級数と比較する：

階乗ベキ級数について n 番目の係数を定義する：

FactorialPower[x,2]の係数：

FactorialPower[x,n]の係数：

離散確率分布のPDFはDifferenceDeltaを使って分布のCDFから計算することができる：

結果がPDFと一致することを確かめる：