MaxStableDistribution

MaxStableDistribution[μ,σ,ξ]

位置母数 μ，尺度母数 σ，形状母数 ξ の一般化された最大極値分布を表す．

詳細

  • MaxStableDistributionはFisher–Tippett分布としても知られている．
  • 一般化された最大極値分布は，正規分布，コーシー分布，ベータ分布等の分布のサンプル中の最大値の漸近分布を返す．
  • 一般化された最大極値分布中の値 の確率密度は， ではに比例し，その他の場合は0である．
  • MaxStableDistributionでは，μ と ξ は任意の実数でよく，σ は任意の正の実数でよい．
  • MaxStableDistributionでは，μ と σ は同じ単位次元の任意の数量でよく，ξ は無次元量でよい． »
  • MaxStableDistributionは，Mean，CDF，RandomVariate等の関数とともに使うことができる．

予備知識

  • MaxStableDistribution[μ,σ,ξ]は，を満足する実数 の集合上でサポートされ，正の実数 σ（「尺度母数）と実数 μ および ξで（順に「位置母数」および「形状母数）でパラメータ化された連続統計分布を表す．これらの母数は，ともに，確率密度関数(PDF)の動作を決定する．一般に，最大安定分布のPDFは単一の「峰」（帯域的最大値）を持つ単峰性で，その全体的な形（高さ，広がり，最大値の水平位置）は μ，σ，ξ の値で決定される．加えて，PDFの裾部は，PDFが の大きい値につい非指数的に減少するという意味で「厚い」（この動作は分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に厳密にすることができる）．最大安定分布は，最小安定分布とともに，「極値分布」と呼ばれるもので，一般化された最大極値分布，タイプ1の極値分布（ExtremeValueDistributionと混同してはならない），ガンベル最大値分布（GumbelDistributionと混同してはならない）あるいはFisher–Tippett分布として参照することができる．
  • 一般化された最大極値分布は，NormalDistribution，CauchyDistributionあるいはBetaDistributionからのサンプル中の最大値の漸近的動作をモデル化する珍しい分布である．この分布はGumbelDistribution，FrechetDistribution，WeibullDistribution等の他の極値分布の動作を組み合せるために開発された．この分布のPDFは二重に指数的（つまり，Exp[-Exp[…]]の形をしている）ために，分布のグラフは（峰がより高い，あるいは裾部がより薄い等の）より極端な特徴，分布の中でも珍しい特性を持つ．最大安定分布は極値理論として知られる分野の基礎であり，「ほとんど有り得ない」（データ集合が中央値からの極端な偏差を持つ変量からなっている）状況の説明に広く使われている．この分布は，金融および経済学のさまざまな分野における数多くの現象のモデル化に使われてきている．
  • RandomVariateを使って，最大安定分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．Distributed[x,MaxStableDistribution[μ,σ,ξ]]（より簡略な表記では xMaxStableDistribution[μ,σ,ξ]）を使って，確率変数 x が最大安定分布に従って分布していると宣言することができる．このような宣言は，Probability，NProbability，Expectation，NExpectation等の関数で使うことができる．
  • 確率密度関数および累積分布関数は，PDF[MaxStableDistribution[μ,σ,ξ],x]およびCDF[MaxStableDistribution[μ,σ,ξ],x]を使って得られる．平均，中央値，分散，原点の周りのモーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．
  • DistributionFitTestを使って，与えられたデータ集合が最大安定分布と一致するかどうかを検定することが，EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリック最大安定分布を推定することが，FindDistributionParametersを使ってデータをベータ分布にフィットすることができる．ProbabilityPlotを使って記号最大安定分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが，QuantilePlotを使って記号最大安定分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる．
  • TransformedDistributionを使って変換された極値定分布を表すことが，CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが，TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる．CopulaDistributionを使って最大安定分布を含む高次元分布を構築することが，ProductDistributionを使って極値定分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる．
  • 最大安定分布は数多くの他の分布と関係がある．MaxStableDistributionはExtremeValueDistribution（ExtremeValueDistribution[α,β]はMaxStableDistribution[α,β,0]に等しい）およびFrechetDistribution（FrechetDistribution[α,β]は厳密にはMaxStableDistribution[β,β/α ,1/α]）を含む他の多くの分布を一般化する．この分布を変換して，MinStableDistribution，GumbelDistribution，WeibullDistributionを得ることができる．MaxStableDistributionは，ExponentialDistribution，ExpGammaDistribution，LogisticDistributionとも関連している．

例題

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例  (4)

確率密度関数：

累積分布関数：

平均と分散：

中央値：

スコープ  (8)

一般化された最大極値分布から擬似乱数のサンプルを生成する：

そのヒストグラムを確率密度関数と比較する：

分布母数推定：

サンプルデータから分布母数を推定する：

サンプルの密度ヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

歪度は形状母数のみに依存する：

極限値：

分布が対称となる形状母数を求める：

歪度はMinStableDistributionの歪度と反対の符号を持つ：

尖度は形状母数のみに依存する：

極限値：

尖度はその最小値に達する：

尖度はMinStableDistributionの尖度と等しい：

母数の関数としての閉形式の種々のモーメント：

Moment：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

ハザード関数：

分位関数：

母数でQuantity を一貫して使うとQuantityDistributionが当たれられる：

力の中央値を求める：

アプリケーション  (1)

MaxStableDistributionを使って繊維の強度がモデル化できる．グラムで表されたインド綿の伸張強度について考える：

分布をデータにフィットする：

データのヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

平均伸張強度を求める：

繊維の強度が少なくとも10である確率を求める：

50個のサンプルについて繊維の強度のシミュレーションを行う：

特性と関係  (9)

MaxStableDistributionは平行移動と正の因子によるスケーリングの下では閉じている：

MinStableDistributionは負の因子によるスケーリングで与えられる：

MaxStableDistributionはMaxを取る際に閉じている：

形状母数の特殊なケースは0に等しい：

MaxStableDistributionのCDFは安定性の仮定の方程式を解く：

について解を確かめる：

の極限を求める：

他の分布との関係：

ExtremeValueDistributionは一般化された最大極値分布の特殊ケースである：

FrechetDistributionは一般化された最大極値分布の特殊ケースである：

一般化された最大極値分布はWeibullDistributionに関連している：

一般化された最大極値分布はGumbelDistributionに関連している：

一般化された最大極値分布はMinStableDistributionに関連している：

おもしろい例題  (1)

累積分布関数の等高線を持つ ξ のさまざまな値についての確率密度関数：

Wolfram Research (2010), MaxStableDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/MaxStableDistribution.html （2016年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), MaxStableDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/MaxStableDistribution.html （2016年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "MaxStableDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/MaxStableDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2010). MaxStableDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/MaxStableDistribution.html

BibTeX

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BibLaTeX

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