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NLineIntegrate

NLineIntegrate[f,{x,y,…}∈curve]

计算函数 f[x,y,…] 在 curve 上的数值标量线积分.

NLineIntegrate[{p,q,…},{x,y,…}∈curve]

计算向量函数 {p[x,y,…],q[x,y,…],…} 的数值向量线积分.

更多信息和选项

线积分亦称为曲线积分和做功积分.
标量线积分沿曲线对标量函数进行积分. 通常计算曲线的长度、质量和电荷等.
向量线积分用于计算向量函数沿曲线的切线方向所做的功. 典型的向量函数包括力场、电场和流体速度场.
函数 f 沿 curve 的标量线积分由下式给出：

… 其中 $TemplateBox[{{{r, ^, {(, ', )}}, (, u, )}}, Norm]$ 是参数化曲线线段的度量.
标量线积分与 curve 的参数化和方向无关. 任何一维 RegionQ 对象都可以用作 curve.
函数 F 沿 curve 的向量线积分由下式给出：

… 其中，是向量函数在切线方向上的投影，因此只对切线方向上的分量进行积分.
向量线积分与曲线的参数化无关，但与曲线的方向有关.
曲线的方向由曲线上的切向量场给出.

对于参数化曲线 ParametricRegion[{r₁[u],…,r_n[u]},…]，切向量场为 ∂_ur[u].
中的特殊曲线及认定的切线方向包括：

		Line[{p₁,p₂,…}]	方向遵循给出点的顺序，从 p₁ 到 p₂ 等
		HalfLine[{p₁,p₂}] HalfLine[p,v]	方向是从 p₁ 到 p₂ 或 v 方向
		InfiniteLine[{p₁,p₂}] InfiniteLine[p,v]	方向是从 p₁ 到 p₂ 或 v 方向
		Circle[p,r]	方向为逆时针

中的特殊曲线及认定的切线方向包括：

		Line[{p₁,p₂,…}]	方向遵循给出点的顺序，从 p₁ 到 p₂ 等
		HalfLine[{p₁,p₂}] HalfLine[p,v]	方向是从 p₁ 到 p₂ 或 v 方向
		InfiniteLine[{p₁,p₂}] InfiniteLine[p,v]	方向是从 p₁ 到 p₂ 或 v 方向

中的特殊曲线及认定的切线方向包括：

		Line[{p₁,p₂,…}]	方向遵循给出点的顺序
		HalfLine[{p₁,p₂}] HalfLine[p,v]	方向是从 p₁ 到 p₂ 方向由 v 给出
		InfiniteLine[{p₁,p₂}] InfiniteLine[p,v]	方向是从 p₁ 到 p₂ 方向由 v 给出

可给出以下选项：

	AccuracyGoal	Infinity	寻求的绝对准确度
	MaxPoints	Automatic	样本点的最大数量
	MaxRecursion	Automatic	递归子划分的最大数量
	Method	Automatic	要使用的方法
	MinRecursion	0	递归子划分的最小数量
	PrecisionGoal	Automatic	寻求的精度
	WorkingPrecision	MachinePrecision	内部计算使用的精度

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (6)

标量场在圆上的线积分：

向量场在线段上的线积分：

向量场在空间曲线上的线积分：

二维标量场的线积分：

要进行积分的曲线：

和曲线的等值线图：

线积分：

二维向量场的线积分：

向量场和积分路径：

线积分：

三维向量场的线积分：

范围 (33)

基本用法 (4)

标量场的线积分：

三维向量场的线积分：

LineIntegrate 适用于许多特殊曲线：

参数化曲线上的线积分：

标量函数 (11)

标量场在曲线上的线积分：

和曲线的等值线图：

线积分：

标量场在圆弧上的线积分：

标量场在参数化曲线上的线积分：

函数和曲线的等值线图：

标量场在圆上的线积分：

标量场在空间曲线上的线积分：

线积分：

标量场在环面边界上的线积分：

函数和曲线的等值线图：

标量场在闭合多边形上的线积分：

函数和曲线的等值线图：

标量场在椭圆路径上的线积分：

函数和曲线的等值线图：

线积分：

标量场在参数化曲线上的线积分：

线积分：

标量场在圆上的线积分：

和曲线的等值线图：

线积分：

标量场在圆盘扇形边界上的线积分：

和曲线的等值线图：

线积分：

向量函数 (12)

三维向量场在参数化曲线上的线积分：

向量场和曲线的可视化：

线积分：

二维曲线上向量场的线积分：

线积分：

向量场在圆弧上的线积分：

向量场在线段上的线积分：

向量场在三维参数化曲线上的线积分：

向量场在曲线上的线积分：

向量场在椭圆形弧线上的线积分：

向量场参数化曲线上的线积分：

向量场在三维参数化曲线上的线积分：

向量场在参数化曲线上的线积分：

向量场在椭圆路径上的线积分：

向量场在高维空间的线积分：

特殊曲线 (4)

圆弧上的线积分：

向量场在半径为 1 的扇形边界上的线积分：

多边形上的线积分：

环面边界上的线积分：

参数化曲线 (2)

向量场在三维螺旋线上的线积分：

标量场在参数化曲线上的线积分：

选项 (8)

AccuracyGoal (1)

选项 AccuracyGoal 设置准确度的位数：

默认设置仅设定 PrecisionGoal：

MaxPoints (1)

选项 MaxPoints 在计算指定数量的点后停止积分：

使用默认选项：

MaxRecursion (1)

选项 MaxRecursion 指定最大递归步骤数：

增大递归计算的次数：

精确结果为：

Method (1)

选项 Method 可接受与 NIntegrate 同样的值. 例如：

使用默认选项：

与截断的精确结果相比较：

MinRecursion (1)

选项 MinRecursion 强制使用最小数量的递归子划分：

与精确结果进行比较：

PrecisionGoal (1)

选项 PrecisionGoal 设置积分中的相对容差：

使用默认设置：

WorkingPrecision (2)

如果指定了 WorkingPrecision，则以该工作精度完成计算：

如果被积函数精度有限，则结果的精度有限：

应用 (27)

大学微积分 (10)

函数在线段上的线积分：

向量场在曲线上的线积分：

半径为 1、线密度为的细圆线的质量：

力场对沿线段移动的粒子所做的功：

向量场沿路径的线积分：

向量场沿曲线的线积分：

粒子沿曲线移动时，力所做的功：

向量场沿以原点为中心的单位圆的线积分：

向量场沿以原点为圆心、半径为 2 的圆的线积分：

向量场在路径上的线积分的数值：

长度 (3)

圆的周长：

用线积分计算心形线的周长：

也可以用 RegionMeasure 计算长度：

星形线的周长：

面积 (5)

半轴长度为 2 和 3 的椭圆的面积，使用线积分计算：

用线积分计算双纽线右侧环路的面积：

参数为、的外摆线所围的面积：

用线积分计算心形的面积：

用线积分求星形的面积：

力做的功 (4)

力使物体沿直线移动时所做的功：

电荷为的带电粒子在电荷密度为的带电无限长导线的电场中从 {1,1,0} 移动到 {2,2,0} 时电力所做的功：

沿四分之一椭圆移动时，指向原点的弹力所做的功：

电荷在电荷的电场中沿着轴从移动到无穷远时电力所做的功：

质心 (2)

半径为 2、单位线密度的闭合半圆线的质量：

质心的坐标：

质心的坐标：

单位线密度的螺旋线的惯性矩：

关于轴：

关于轴：

关于轴：

经典定理 (3)

如果向量场的线积分仅取决于端点处的值，而不取决于路径，则该向量场是保守的：

场是标量函数的梯度：

所有标量场的梯度都是保守的. 例如，在曲线上的线积分为：

这与曲线两个端点处值的差相同：

格林定理. 向量场在闭合曲线上的线积分为：

这与在曲线所包围的区域上的曲面积分相关，其中，被定义为：

斯托克斯定理. 向量场沿三维闭合线的线积分为：

这等于的 Curl 在以曲线为边界的任何曲面上的曲面积分：

边界相同的不同曲面上的曲面积分是相同的：

属性和关系 (5)

如果符号计算失败，可用 N[LineIntegrate[…]] 获取数值解：

求单位线密度的三角形线的质心：

求总质量：

求质心的分量：

求分量：

也可用 RegionCentroid 计算质心：

求以 - 平面上的原点为中心、单位线密度的圆线绕轴的惯性矩：

也可用 MomentOfInertia 获得答案：

求外摆线的长度：

也可用 ArcLength 获得相同的答案：

求椭圆的面积：

也可用 RegionMeasure 进行计算：

巧妙范例 (2)

悬链线的长度：

向量场在 Clelia 曲线上的积分：

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