PermutationMatrix

PermutationMatrix[permv]

置換ベクトル permv によって構造化配列として与えられる置換行列を表す．

PermutationMatrix[pmat]

置換行列 pmat を構造化配列に変換する．

詳細とオプション

  • 置換行列は，構造化配列として表現されるときは，Det，Inverse，LinearSolve等でより効率的な格納と動作を可能にする．
  • 置換行列は，一般に，行列分解アルゴリズムの出力に，（コンテキスト内で通常ピボットと呼ばれる）行または列の置換を表すために出現する．
  • 置換ベクトルが与えられた場合，結果の置換行列 は P〚i,j〛=TemplateBox[{{i, ,, {p, _, j}}}, KroneckerDeltaSeq]で与えられる．これは，行 の列 が1でそれ以外はすべて0の行列に相当する．
  • 置換行列 を使って左の から乗算することで行を，あるいは右の A.TemplateBox[{P}, Transpose]からの転置を乗算することで列を置換することができる．
  • 置換行列 は，逆行列が転置 P^(-1)=TemplateBox[{P}, Transpose]に等しい直交行列である．
  • 置換行列は行列の乗算のもとで閉じているので，もまた置換行列である．
  • 置換行列の行列式はか1のどちらかで，Signature[permv]に等しい．
  • 以下の操作はPermutationMatrixについて高速化される．
  • Det時間
    Dot時間
    Inverse時間
    LinearSolve時間
  • PermutationMatrix sa については，以下の特性"prop"に sa["prop"]でアクセスできる．
  • "PermutationCycles"置換行列の互いに素な巡回表現
    "PermutationList"置換行列の置換リスト表現
    "WorkingPrecision"内部的に使う精度
    "Properties"サポートされる特性のリスト
    "Structure"構造化配列の型
    "StructuredData"構造化配列で保存されている内部データ
    "StructuredAlgorithms"構造化配列についての特別なメソッドを持つ関数のリスト
    "Summary"Datasetとして表されるまとめ情報
  • Normal[PermutationMatrix[a,…]]は通常の行列としての置換行列を与える．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • TargetStructure Automatic返される行列の構造
    WorkingPrecision Infinity成分を作成する精度
  • 次は，TargetStructureの可能な設定である．
  • Automatic返す表現を自動選択する
    "Dense"行列を密な行列として表す
    "Orthogonal"行列を直交行列として表す
    "Sparse"行列を疎な配列として表す
    "Structured"行列を構造化配列として表す
    "Unitary"行列をユニタリ行列として表す
  • PermutationMatrix[…,TargetStructureAutomatic]はPermutationMatrix[…,TargetStructure"Structured"]に等しい．

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (2)

置換ベクトルから置換行列を構築する：

要素を表示する：

通常の表現を得る：

置換行列を構造化配列として表す：

要素を示す：

行列式を計算する：

スコープ  (7)

互いに素な巡回表現から置換行列を構築する：

要素を表示する：

通常の表現を得る：

置換行列の次元を指定する：

要素を表示する：

TwoWayRule（交換置換）から置換行列を構築する：

要素を表示する：

通常の表現を得る：

置換行列の次元を指定する：

要素を表示する：

明示的な行列から置換行列を構築する：

要素を表示する：

通常の表現を得る：

PermutationMatrixオブジェクトは配列についての情報を与える特性を含む：

"PermutationList"は，もとになっている置換の互いに素な巡回表現を与える：

"PermutationList"は置換リスト表現を与える：

"WorkingPrecision"は，行列成分の精度を与える：

"Summary"特性は配列についての情報の簡単なまとめを与える：

"StructuredAlgorithms"特性は構造化アルゴリズムを持つ関数のリストを与える：

構造化アルゴリズムは，一般に，より速い：

行列式を計算する：

逆行列を計算する：

固有値を計算する：

構造化アルゴリズムは，適切な場合は別のPermutationMatrixオブジェクトを返す：

逆行列を使うと簡単に逆置換が得られる：

逆の関係を検証する：

これはInversePermutationの結果と等しい：

ランダムな104×104置換ベクトルを生成する：

この表現と計算は構造化配列について効果的である：

通常の表現ははるかに大きく（80KBと800MBの違い）かつ遅い：

逆行列の保存には2.4GB必要である：

オプション  (2)

TargetStructure  (1)

置換行列を密な行列として返す：

置換行列を構造化配列として返す：

置換行列を疎な配列として返す：

置換行列を直交行列として返す：

置換行列をユニタリ行列として返す：

WorkingPrecision  (1)

置換行列の作業制度を指定する：

通常の表現は有限精度要素を持つ完全な行列を返す：

アプリケーション  (4)

行列のLU分解を計算する関数：

分解を計算する：

分解を検証する：

置換群の元に対応する置換行列を生成する：

群について乗算表を計算する：

これはGroupMultiplicationTableの結果と等価である：

行列の列を積み上げて1つのベクトルにするvec演算子を定義する：

交換行列とも呼ばれるvec置換行列を定義する：

vec置換行列はvec演算子を行列に適用した結果とその転置を関連付ける：

vec置換行列を使って指定された2つの行列のクロネッカー(Kronecker)積と同じ行列を逆順にしたもののクロネッカー積の関係を表すことができる：

高速フーリエ変換(FFT)の効率は2つの小さいフーリエ行列から1つの大きいフーリエ行列が形成できる点にかかっている．大きさが p と q の2つの小さいフーリエ行列を生成する：

大きさが p q のフーリエ行列はより単純な4つの行列の積として表すことができる：

結果の行列がFourierMatrixの結果に等しいことを示す：

ベクトルの離散フーリエ変換はフーリエ行列の因子を連続的にベクトルに掛けることで計算できる：

結果はベクトルにFourierを適用したものに等しい：

特性と関係  (6)

恒等行列を置換行列に変換する：

互いに素な巡回表現を示す：

PermutationMatrix[p<->q]はPermutationMatrix[Cycles[{{p,q}}]]に等しい：

SparseArray[PermutationMatrix[…]]を使ってSparseArrayとしての表現を得る：

ランダムな置換リストを生成する：

置換リストを左から掛けることは置換リストにPartを使うことと等価である：

置換行列を左から掛けることは置換行列にPermuteを使うことと等価である：

置換行列の行列式は対応する置換リストの符号に等しい：

置換行列と一般行列の積の永久式はもとの行列の永久式に等しい：

おもしろい例題  (1)

上二重対角行列：

二重対角ブロックを持つ対称ブロック行列（Jordan–Wielandt行列）を生成する：

「完璧シャッフル」"置換を定義する：

完璧シャッフルを使ってJordan–Wielandt行列を三重対角行列（Golub–Kahan三重対角行列）に変換する：

数値上二重対角行列の特異値を計算する：

これらはGolub–Kahan三重対角行列の正の固有値に等しい：

Wolfram Research (2022), PermutationMatrix, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationMatrix.html （2024年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2022), PermutationMatrix, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationMatrix.html （2024年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2022. "PermutationMatrix." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationMatrix.html.

APA

Wolfram Language. (2022). PermutationMatrix. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationMatrix.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_permutationmatrix, author="Wolfram Research", title="{PermutationMatrix}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationMatrix.html}", note=[Accessed: 21-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_permutationmatrix, organization={Wolfram Research}, title={PermutationMatrix}, year={2024}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationMatrix.html}, note=[Accessed: 21-November-2024 ]}