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Volume
✖
Volume

✖
Volume[reg]

给出三维区域 reg 的体积.

✖
Volume[{x1,…,xn},{s,smin,smax},{t,tmin,tmax},{u,umin,umax}]

给出参数化区域的体积，该区域的笛卡儿坐标 xi 是 s, t, u 的函数.

✖
Volume[{x1,…,xn},{s,smin,smax},{t,tmin,tmax},{u,umin,umax},chart]

把 xi 理解为指定的坐标图表里的坐标.

更多信息和选项

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)常见实例总结

三维空间中单位球的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-sy8lbf
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-dbpnbq
Out[2]=2

三维空间中标准型的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-cn6j8h
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-ja61oz
Out[2]=2

矩形长方体的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-8wv1d8
Out[1]=1

圆柱体的体积，满足 ， （圆柱坐标系）：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bevith
Out[1]=1

范围  (20)标准用法实例范围调查

特殊区域  (7)

Cuboid 的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-cwn64g
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-19xxx
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-cb7xs2
Out[4]=4

Parallelepiped:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-b8zdur
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bz5jux
Out[2]=2

三维空间中的 Simplex:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-rz305
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-dywwx0
Out[2]=2

四维空间中嵌入的体积标准型：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-js4kq7
Out[3]=3

Ball:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bx38cq
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-b7m02f
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-ofeir
Out[3]=3

Ellipsoid:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-x1f1
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-hgr6kv
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-m237a
Out[3]=3

Cylinder:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-fh3qrz
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-n55x1r
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-jnrumn
Out[3]=3

Cone:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-k4dpg0
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-cyxn59
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-h1habv
Out[3]=3

公式区域  (2)

表示为 ImplicitRegion 的球的体积：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-8rffn
Out[4]=4

圆柱体：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-hkg7vx
Out[3]=3

球的体积表示为 ParametricRegion:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-emmtka
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-dupb72
Out[2]=2

使用有理参数表示的圆柱体：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-b3nfm
Out[3]=3

网格区域  (2)

MeshRegion 的体积：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-jz70u
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-h4hb1l
Out[3]=3

BoundaryMeshRegion 的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-v8cq2
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-cyaeg6
Out[2]=2

导出区域  (3)

RegionIntersection 的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-8brni
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bllbdm
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-cqmgd7
Out[3]=3

TransformedRegion 的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-ebl7ww
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-eif5lt
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-dduc8e
Out[3]=3

RegionBoundary 的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-hkslw5
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-ljvzcw
Out[2]=2

参数化公式  (6)

半长轴为3，2，1的椭球的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-cb8q31
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-iq4l21
Out[2]=2

半球壳体的体积（球面坐标系）：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-j9ke5e
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-b71fr8
Out[2]=2

主半径为5，次半径为2的环面的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-1pitot
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-b9ct4v
Out[2]=2

嵌在四维空间内的圆盘与圆圈之积的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-ur3sdt
Out[1]=1

在矩形 以上的抛物面 的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-zqfzd3
Out[1]=1

三球面的一个八分体的体积（用球极平面坐标）:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-oienkx
Out[1]=1

选项  (3)各选项的常用值和功能

Assumptions  (1)

任意半长轴为 ，半短轴为 ，且高为 的椭圆锥的面积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-h12qz7
Out[1]=1

附加一个半轴为正数的假设将会简化结果：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-yr9vto
Out[2]=2

、、 的区域：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-of8gjv
Out[3]=3

WorkingPrecision  (2)

用机器算术计算 Volume：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-b0fhg
Out[1]=1

有些情况下，无法算出精确的答案：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-djjiv
Out[2]=2

用 30 位精度计算 Volume：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-i9d0pp
Out[1]=1

应用  (6)用该函数可以解决的问题范例

函数区域 ：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-ez8ql8
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-keirl8

该区域的维度为 3：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-fdmg84
Out[3]=3

该区域的的体积：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-mih9df
Out[4]=4

相当于：

In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bf0rzd
Out[5]=5

计算一个多面体的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-n9o77n
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-x1y5by
Out[2]=2

地球的形状几乎是一个扁椭球体，其体积为：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bh629
Out[1]=1

带入半长轴和半短轴的值：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bce2s
Out[2]=2

求一个 Ball 内的甲醇的质量：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-u48x65
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-gfnou3
Out[2]=2

求一个 Cone 的平均密度（其非均匀质量密度定义为 ）：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-vpjoxa
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-qpucm2
Out[2]=2

计算一个装有 个半径为 1.75 英寸的网球的罐子里的空余空间体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-ug6x97
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-z5qrg4
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-h92vkh
Out[3]=3

可视化装有三个球的罐:

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-dbddop
Out[4]=4

属性和关系  (5)函数的属性及与其他函数的关联

Volume 是一个非负的量：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-0v59hv
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-76fnat
Out[2]=2

对于三维区域，Volume[r] 与 RegionMeasure[r] 相同：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-nct1tz
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-jblaq
Out[2]=2

一般来说， Volume[r] 与 RegionMeasure[r,3] 等同：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-bfz10v
Out[3]=3

Volume[x,s,t,u,c] 相当于 RegionMeasure[x,{s,t,u},c]:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-oasr4j
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-mvk8pn
Out[2]=2

对于一个三维区域，Volume 被定义为 1 在那个区域的积分：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-g4cfg
Out[1]=1

若要获取四维区域的曲面体积，可使用 RegionBoundary：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-fnsw8n
Out[1]=1

可能存在的问题  (2)常见隐患和异常行为

Volume 的参数形式会计算可能的多个覆盖面的体积：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-4y4jpk
Out[1]=1

区域版本的函数可计算图像的体积：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-grcil2
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-e3v23y
Out[3]=3

维度不是 3 的区域的体积是 Undefined:

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-yrdpjb
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0tz9x816-mz7pc2
Out[2]=2
Wolfram Research (2014)，Volume，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html （更新于 2019 年）.
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Wolfram Research (2014)，Volume，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html （更新于 2019 年）.

文本

Wolfram Research (2014)，Volume，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html （更新于 2019 年）.

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Wolfram Research (2014)，Volume，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html （更新于 2019 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2014. "Volume." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2019. https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html.

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Wolfram 语言. 2014. "Volume." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2019. https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html.

APA

Wolfram 语言. (2014). Volume. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html 年

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Wolfram 语言. (2014). Volume. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2025_volume, author="Wolfram Research", title="{Volume}", year="2019", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html}", note=[Accessed: 04-April-2025 ]}

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@misc{reference.wolfram_2025_volume, author="Wolfram Research", title="{Volume}", year="2019", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html}", note=[Accessed: 04-April-2025 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2025_volume, organization={Wolfram Research}, title={Volume}, year={2019}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html}, note=[Accessed: 04-April-2025 ]}

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@online{reference.wolfram_2025_volume, organization={Wolfram Research}, title={Volume}, year={2019}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Volume.html}, note=[Accessed: 04-April-2025 ]}